2007　名古屋市立大　前期

【１】　関数$f_1(x)$および$f_2(x)$を

$f_1(x)=-x^2+1$

$f_2(x)=-{\displaystyle \frac{5}{4}}{x}^2+10x-18$

とし，関数$f(x)$を

$f(x)=\max \{f_1(x),f_2(x)\}$

とする．ただし，$c=\max \{a,b\}$とは，$c$が$a\text{，}b$の小さくない方と等しいことを表す．次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフを描け．また，その最大値を求めよ．

(2)　関数$F(x)$を

$F(x)={\displaystyle {\int }_x^{x+3}}f(t)dt$

と定義するとき，$F(x)$の最大値とそのときの$x$の値を求めよ．

【２】　$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{N}\text{，}\mathrm{U}$の$3$つの文字から無作為に$1$文字選んでは左から右へ向かって$1$列に並べていく．なお同じ文字は何度使ってもよいものとする．次の問いに答えよ．

(1)　文字を$5$個並べたとき，「$\mathrm{NCU}$」という連続した$3$文字が出現する確率を求めよ．

(2)　文字を$6$個並べたとき，「$\mathrm{NCU}$」という連続した$3$文字が出現する確率を求めよ．

(3)　文字を$7$個並べたとき，「$\mathrm{NCU}$」という連続した$3$文字が出現する回数を$X$とする．$X$の期待値を求めよ．

【３】　$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$座標空間において，点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,2,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,3)$をとる．原点$\mathrm{O}$から線分$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$に引いた垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標を求めよ．また，線分の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}\text{，}\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}\text{，}\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．

(2)　$▵\mathrm{ARQ}\text{，}▵\mathrm{BPR}\text{，}▵\mathrm{CQP}$それぞれの$▵\mathrm{ABC}$に対する面積比を求めよ．

(3)　四面体$\mathrm{OPQR}$と四面体$\mathrm{OABC}$の体積比を求めよ．

【４】　年齢$1$の$1$つの個体から始めて，以下の操作$1\text{，}2$を$n$回おこなった後の全個体の年齢の合計を$S_n$とする．

操作$1.$　年齢$1$の各個体から年齢$0$の$k$個の個体を発生させる．ただし，$k>1$とする．

操作$2.$　全個体の年齢をそれぞれ$1$増やす．

　次の問いに答えよ．

(1)　$k=2$のとき$S_4$を求めよ．

(2)　操作$1\text{，}2$を$n$回行った後の平均年齢を$A_n$とするとき，$A_n<{\displaystyle \frac{k}{k-1}}$となることを示せ．