2007　大阪府立大学　前期MathJax

【１】　赤玉$4$つと白玉$2$つが入った袋がある．$1$個のさいころを$1$回投げて，出た目の数だけこの袋から玉を同時に取り出す．次の問いに答えよ．

(1)　白玉が赤玉より多く取り出される確率を求めよ．

(2)　取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．

【２】　$▵\mathrm{OAB}$において，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}\text{，}\mathrm{OB}=\sqrt{2}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$とする．$t$を$0<t<{\displaystyle \frac{1}{2}}$である実数とし，辺$\mathrm{OA}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{C}\text{，}$辺$\mathrm{OB}$を$(1-2t):2t$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．また点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線を$l$とし，点$\mathrm{O}$から直線$l$に引いた垂線と直線$l$の交点を$\mathrm{H}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるための$t$の条件を求めよ．

(3)　点$\mathrm{H}$が線分$\mathrm{CD}$上にあるとき，$▵\mathrm{OCD}$の面積が最大になる$t$の値を求めよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，$A=\left(\begin{array}{cc}a& -2b\\ b& c\end{array}\right)$とする．行列$A\text{，}{A}^2\text{，}{A}^3$で表される移動により点$\mathrm{P}(1,\mathrm{０})$はそれぞれ点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$に移るとする．さらに条件

${\mathrm{P}}_1\ne \mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}_2\ne \mathrm{P}\text{，}{\mathrm{P}}_3=\mathrm{P}$

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　$a+c$と$ac+2b^2$の値を求めよ．

(2)　条件を満たす行列$A$で，$▵\mathrm{P}{\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の面積が最小となるものを求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を，$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=a_n(a_n+1)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$n\leqq 2$のとき，${(2a_1+1)}^2+{\displaystyle \sum _{k=2}^n}{(2a_k)}^2={(2a_n+1)}^2$となることを示せ．

(2)　$2a_n+1$と$2a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．

(3)　次の$3$条件

(ⅰ)　$x^2+y^2+z^2=w^2\text{，}$

(ⅱ)　$x$と$y$の最大公約数は$1\text{，}$

(ⅲ)　$z$は$y$の倍数

を満たす$4$つの自然数の組$(x,y,z,w)$は無数にあることを示せ．

【４】　曲線$C:y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$上の点$\mathrm{P}(t,{\displaystyle \frac{1}{t}})$における接線を$l_t$とする．また$\alpha \text{，}\beta$は$0<\alpha <\beta$を満たす定数とし，$2$本の接線$l_{\alpha }\text{，}{l}_{\beta }$と曲線$C$で囲まれる図形を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$の面積を求めよ．

(2)　$\alpha <t<\beta$のとき，$D$のうち接線$l_t$の上側にある部分の面積$S\left(t\right)$を最小にする$t$を求めよ．

【４】　曲線$C:y=|x^2-1|$上の点$\mathrm{P}(t,|t^2-1|)\text{（}-1<t<1\text{）}$における接線を$l$とする．曲線$C$と接線$l$で囲まれた部分のうち，$x\leqq t$の範囲に含まれる部分の面積を$S_1(t)\text{，}x\geqq t$の範囲に含まれる部分の面積を$S_2(t)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$S_1(t)-S_2(t)$を求めよ．

(2)　$0<t<1$の範囲で，不等式$S_1(t)-S_2(t)>m{t}^2$が成り立つような最大の整数$m$を求めよ．

【１】　自然数$n$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

(1)　${}_{n}C_0+{}_{n}C_1+\cdots +{}_{n}C_n=2^n$

(2)　${}_{n}C_1+2\cdot {}_{n}C_2+\cdots +n\cdot {}_{n}C_n=2^{n-1}n$

(3)　${}_{2n+1}C_0+{}_{2n+1}C_1+\cdots +{}_{2n+1}C_n=2^{2n}$

【２】　長さ$1$の線分$\mathrm{AB}$を考える．各自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$\mathrm{AB}$上の点${\mathrm{P}}_n$を以下のように定める．まず，点${\mathrm{P}}_1$を${\displaystyle \frac{1}{4}}<\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1<{\displaystyle \frac{1}{3}}$を満たすようにとる．点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$が定まったとき，線分${\mathrm{P}}_n\mathrm{B}$の中点${\mathrm{Q}}_n$に対して，線分$\mathrm{A}{\mathrm{Q}}_n$の中点を${\mathrm{P}}_{n+1}$とする．$a_n=\mathrm{A}{\mathrm{P}}_n$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$を用いた式で表せ．

(2)　すべての自然数$n$について$a_n<{\displaystyle \frac{1}{3}}$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{4^k}}$とおくとき，すべての自然数$n$について$a_n>S_n$が成り立つことを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【３】　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}P=\left(\begin{array}{c}p\\ q\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$とする．

　$AP=P\text{，}a+d=3$が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$ad-bc$の値を求めよ．

(2)　各自然数$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対して，$A^n$を$A$と$E$を用いた式で表せ．

【４】　曲線$y=(x+1)e^{-x}$を$C$で表す．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)　曲線$C$と$x$軸の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線$l$の方程式を求めよ．

(3)　曲線$C$と直線$l$および$y$軸で囲まれた図形を$D$で表す．図形$D$の概形を図示し，図形$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．