2007　青山学院大学　経営学部

【１】　$0<\theta <\pi$の範囲にある角$\theta$が

$\sin \theta -\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$

を満たすとき，$\sin \theta \text{，}$$\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　$xy$平面上の半径$1$の円$C$が，直線$x+\sqrt{3}y=4$と単位円$x^2+y^2=1$の両方に接するという．このとき$C$の中心の座標を求めよ．

【３】　$\alpha$を定数とし，関数$f(x)$が関係式

${\displaystyle {\int }_0^1}f(x)\mathit{dx}=1\text{，}$${\displaystyle {\int }_0^1}xf(x)\mathit{dx}=\alpha$

を満たすとする．このとき，関数

$F(t)={\displaystyle {\int }_0^1}{(x-t)}^{2}f(x)\mathit{dx}$

について以下の問に答えよ．ただし，$C$を積分定数として${\displaystyle \int }{x}^3\mathit{dx}={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+C$

であることを使ってよい．

(1)　関数$F(t)$の最小値を与える$t$の値を，$\alpha$を用いて表せ．

(2)　関数$f(x)$が一次関数で，$F(t)$の最小値が${\displaystyle \frac{1}{18}}$であるとき，定数$\alpha$の値と，関数$f(x)$を求めよ．