2007　青山学院大学　理工(電気電子,経営システム工学科)学部

　このとき次の問に答えよ．ただし，解答の分数は既約分数とする．

(1)　$1$回目に出た目が$1$のとき，三角形をつくることができる確率は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}$である．

(2)　$1$回目に出た目が$2$のとき，三角形をつくることができる確率は${\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}\text{オ}}}$である．

(3)　辺の長さがすべて異なる三角形をつくることができる確率は${\displaystyle \frac{\text{カ}}{\text{キ}\text{ク}}}$である．

　このとき$a=\text{ケ}\text{，}$$b=\text{コ}\text{サ}\text{，}$$c=\text{シ}\text{ス}$である．

(1)　直線$l$と放物線$C$が異なる$2$点で交わるような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$k$が(1)で求めた範囲を動くとき，$l$と$C$の$2$つの交点の中点が描く軌跡を求め，$xy$平面上に図示せよ．

　$\mathrm{\angle AOP}=\theta$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$4$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$を頂点とする四面体の体積を$V$とする．角$\theta$が$0<\theta <\pi$の範囲にあるとき，$V$を$\theta$を用いて表せ．

(3)　角$\theta$が$0<\theta <\pi$の範囲を動くとき，$V$の最大値を求めよ．

$I(a)={\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{e^x}{1+e^x}}\mathit{dx}\text{，}$$J(a)={\displaystyle {\int }_0^a}{\displaystyle \frac{1}{1+e^x}}\mathit{dx}$

とおく．

(1)　$I(a)$および$J(a)$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して$I(a_n)=J(a_n)+\log n$を満たす正の数$a_n$を求めよ．

(3)　極限$\underset{n\to \infty }{\lim }(a_n-\log n)$を求めよ．