2007　青山学院大学　経済学部

【１】(1)　$12$個のボールを$3$人で$a\text{，}$$b\text{，}$$c$個に分ける．

1．配分されない人も認めるときには$\text{アイ}$通りの異なる配分方法があるが，全員が少なくとも$1$つを受取るときには，異なる配分方法は$\text{ウエ}$通りである．

2．$a=b\geqq 1\text{，}$$c\geqq 1$となる配分方法は$\text{オ}$通りである．

3．$a>b\geqq 1\text{，}$$c\geqq 1$となる配分方法は$\text{カキ}$通りである．

【１】(2)　$1$から$20$までの整数が$1$つずつ記された$20$枚のカードがある．事象$A\text{，}$$B$をそれぞれ$\text{「}2$の倍数」，$\text{「}5$の倍数」を表すものとする．

1．$20$枚のカードから$1$枚を引くとき，それが$2$の倍数となる確率は$P(A)={\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\text{，}$$5$の倍数となる確率は$P(B)={\displaystyle \frac{\text{ウ}}{\text{エ}}}$である．さらに，

$P(A\cap B)={\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カキ}}}\text{，}$および$P(A\cup B)={\displaystyle \frac{\text{ク}}{\text{ケ}}}$

である．

2．元に戻しながら$3$枚のカードを引くとき，そのうちのちょうど$1$枚が$5$の倍数$\text{（}B\text{）}$となる確率は${\displaystyle \frac{\text{コサ}}{\text{シスセ}}}$である．また$1$枚が$\text{「}2$の倍数でない$5$の倍数$\text{（}\bar{A}\cup B\text{）」，}$$1$枚が$\text{「}5$の倍数でない$2$の倍数$\text{（}A\cap \bar{B}\text{）」，}$$1$枚が$\text{「}2$の倍数でも$5$の倍数でもない$\text{（}\bar{A}\cap \bar{B}\text{）」}$となる事象の確率は${\displaystyle \frac{\text{ソタ}}{\text{チツテ}}}$である．

3．$20$枚のカードから，元に戻さずに$2$枚を引くとき，$2$枚目が$5$の倍数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ト}}{\text{ナ}}}$である．また$1$枚目が$5$の倍数であるときに$2$枚目も$5$の倍数となる確率は${\displaystyle \frac{\text{ニ}}{\text{ヌネ}}}$である．

4．$1$枚目のカードを引いて，それを伏せたままで$2$枚目のカードを引いたところ，$5$の倍数であった．$1$枚目のカードが$5$の倍数である確率は${\displaystyle \frac{\text{ノ}}{\text{ハヒ}}}$である．

【２】(1)　実数$x\text{，}$$y$が

${({\log }_{3}x)}^2+{({\log }_{3}y)}^2={\log }_3{x}^2-{\log }_3{y}^2$

を満たすとき，${\log }_{3}x\text{，}$$xy\text{，}$${\displaystyle \frac{x}{y}}$のとりうる値の範囲はそれぞれ

$\text{ア}-\sqrt{\text{イ}}\leqq {\log }_{3}x\leqq \text{ウ}+\sqrt{\text{エ}}$

${\displaystyle \frac{\text{オ}}{\text{カ}}}\leqq xy\leqq \text{キ}\text{，}$$\text{ク}\leqq {\displaystyle \frac{x}{y}}\leqq \text{ケコ}$

である．

【２】(2)　$x\geqq 0$の範囲で関数

$f(x)=9^x+9^{-x}$$-2(3+3^{-1})(3^x+3^{-x})$$+{(3+3^{-1})}^2$

を定義する．

1．$t=3^x+3^{-x}$とおくとき，$t$は$x=\text{ア}$のとき最小値$\text{イ}$をとる．

2．$f(x)$は$x=\text{ウ}$のとき最小値$\text{エオ}$をとる．

【２】(3)　半径$1$の球$Q$がある．

1．$Q$の体積は${\displaystyle \frac{\text{ア}}{\text{イ}}}\pi \text{，}$表面積は$\text{ウ}\pi$である．

2．$Q$を含む円柱のうち体積が最小のものを$R$とする．

　$R$の体積は$\text{エ}\pi \text{，}$表面積は$\text{オ}\pi$である．

3．$Q$に含まれる円柱のうち体積が最大のものを$S$とする．

　$S$の体積は${\displaystyle \frac{\text{カ}\sqrt{\text{キ}}}{\text{ク}}}\pi \text{，}$表面積は${\displaystyle \frac{\text{ケ}+\text{コ}\sqrt{\text{サ}}}{\text{シ}}}\pi$である．

【３】(1)　多項式$g(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$で多項式$f(x)=x^6+6x^3+5x^2-4x+8$を割ると，商が$g(x)\text{，}$余りが$5x^2-4x-1$となる．

　このとき，$a=\text{ア}\text{，}$$b=\text{イ}\text{，}$$c=\text{ウ}$である．

【３】(2)　$x+y+z=2\text{，}$$x-y-3z=0$を満たす$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の任意の値に対して，常に

$\alpha {(x-2)}^2=\beta {(y-2)}^2+\gamma {(z-2)}^2-15$

が成立する．このとき

$\alpha =\text{アイ}\text{，}$$\beta =\text{ウ}\text{，}$$\gamma =\text{エ}$

である．

【３】(3)　複素数に関する以下の問いで$i$は虚数単位を表す．

1．$\alpha =-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}i$とするとき，$\alpha +{\alpha }^2=\text{アイ}\text{，}$${\alpha }^{16}+{\alpha }^8+2=\text{ウ}$である．

2．$\beta ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{1-i}}$とするとき，${\beta }^4=\text{エオ}\text{，}$$\beta +{\beta }^5=\text{カ}$である．

3．$\gamma =2+\sqrt{2}i$とするとき，${\gamma }^4-4{\gamma }^3+5{\gamma }^2+6\gamma -7=\text{キ}+\text{ク}\sqrt{2}i$である．