2007　学習院大学　理学部MathJax

【１】　自然数$n$に対して

$S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}}$

とおく．$n\geqq 2$のとき，等式

${\displaystyle \sum _{k=2}^n}{\displaystyle \frac{1}{k(k-1)}}{S}_k=2-{\displaystyle \frac{1}{n}-{\displaystyle \frac{1}{n}}{S}_n}$

が成り立つことを示せ．

【２】　不等式$y\leqq {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{x}^3-x^2$の表す平面上の領域を$R$とし，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{x}^3-x^2$上に点$\mathrm{A}(t,{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{t}^3-t^2)$をとる．

(1)　次の条件(ⅰ)，(ⅱ)を同時に満たす点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が存在するような$t$の範囲を求めよ．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{ABC}$は正三角形であり，$R$に含まれる．

(ⅱ)　辺$\mathrm{BC}$は$x$軸に平行である．

(2)　$t$が(1)の範囲を動くとき，(1)の条件を満たす正三角形$\mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

【３】　$x$の方程式

$a{\cos }^{2}x+4\sin x-3a+2=0$

が解をもつような実数$a$の範囲を求めよ．

【４】　点$(0,3)$を中心とする半径$1$の円板の$y\geqq {\displaystyle \frac{5}{2}}$にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．