2007　学習院大学　文学部MathJax

【１】　$10$の倍数でない$3$桁の自然数$n$に対して，$n$を表す数字を逆に並べてできる自然数を$n^{\prime }$で表すことにする．たとえば，$n=123$なら$n^{\prime }=321$である．

(1)　$10$の倍数でない$3$桁の自然数は全部でいくつあるか．

(2)　$10$の倍数でない$3$桁の自然数$n$で，$n^{\prime }>n$を満たすものの個数を求めよ．

(3)　$10$の倍数でない$3$桁の自然数$n$で，$n+n^{\prime }$が$4$桁であるものの個数を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の内部に点$\mathrm{D}$があり，

$\mathrm{AB}=\sqrt{34}\text{，}\mathrm{AC}=2\sqrt{10}\text{，}\mathrm{AD}=3$

$\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=\sqrt{13}$

を満たしているとき，辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ．

【３】　実数$x\text{，}y$が

$19x^2+6xy+11y^2=1$

を満たしながら動くとき，$x^2+y^2$の最大値，最小値，および，それらを与える$x\text{，}y$の値を求めよ．

【４】　$x$の関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^2}|t^2-2xt+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2|dt$

の最小値と，最小値を与える$x$の値を求めよ．