2007　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】

　座標平面上に点$\mathrm{A}(4,3)$と点$\mathrm{B}(8,2)\text{，}$直線$l:y=x$と直線$m:y=0$が与えられている．

(1)　直線$l$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を${\mathrm{A}}^{\prime }$とし，直線$m$に関して点$\mathrm{B}$と対称な点を${\mathrm{B}}^{\prime }$とする．${\mathrm{A}}^{\prime }$と${\mathrm{B}}^{\prime }$の座標はそれぞれ

${\mathrm{A}}^{\prime }(\boxed{\text{(1)}},\boxed{\text{(2)}})\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }(\boxed{\text{(3)}},\boxed{\text{(4)}}\boxed{\text{(5)}})$

である．

(2)　点$\mathrm{P}$が直線$l$上を動くとき，線分の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は

$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(6)}}\boxed{\text{(7)}}}{\boxed{\text{(8)}}\boxed{\text{(9)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(10)}}\boxed{\text{(11)}}}{\boxed{\text{(12)}}\boxed{\text{(13)}}}})$

である．

(3)　点$\mathrm{Q}$が直線$l$上を動き，点$\mathrm{R}$が直線$m$上を動くとき，線分の長さの和$\mathrm{AQ}+\mathrm{QR}+\mathrm{RB}$が最小となる$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$の座標はそれぞれ

$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(14)}}\boxed{\text{(15)}}}{\boxed{\text{(16)}}\boxed{\text{(17)}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{(18)}}\boxed{\text{(19)}}}{\boxed{\text{(20)}}\boxed{\text{(21)}}}})\text{，}\mathrm{R}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{(22)}}\boxed{\text{(23)}}}{\boxed{\text{(24)}}\boxed{\text{(25)}}}},0)$

である．

【２】　$a$を実数の定数とする．区間$1\leqq x\leqq 4$を定義域とする$2$つの関数

$f(x)=ax\text{，}g(x)=x^2-4x+9$

を考える．以下の条件を満たすような$a$の範囲をそれぞれ求めよ．

(1)　定義域に属するすべての$x$に対して，$f(x)\geqq g(x)$が成り立つ．

　このような$a$の範囲は$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(26)}}}{\boxed{\text{(27)}}}}$である．

(2)　定義域に属する$x$で，$f(x)\geqq g(x)$を満たすものがある．

　このような$a$の範囲は$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(28)}}}{\boxed{\text{(29)}}}}$である．

(3)　定義域に属するすべての$x_1$とすべての$x_2$に対して，$f(x_1)\geqq g(x_2)$が成り立つ．

　このような$a$の範囲は$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(30)}}}{\boxed{\text{(31)}}}}$である．

(4)　定義域に属する$x_1$と$x_2$で，$f(x_1)\geqq g(x_2)$を満たすものがある．

　このような$a$の範囲は$a\geqq {\displaystyle \frac{\boxed{\text{(32)}}}{\boxed{\text{(33)}}}}$である．

【３】　$3$次式$f(x)=a_0{x}^3+a_1{x}^2+a_{2}x+a_3$で，各係数$a_k\text{（}k=0\text{，}1\text{，}2\text{，}3\text{）}$が$1$または$-1$となるものを考える．このような$3$次式の総数を$N$とする．

(1)　総数$N$の値は$\boxed{\text{(34)}}\boxed{\text{(35)}}$である．また，このような$3$次式$f(x)$の係数の和$f(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$がとりうる値は全部で$\boxed{\text{(36)}}\boxed{\text{(37)}}$通りある．

　次に，これら$N$個の$3$次式を$1$つずつ書いたカードを$N$枚用意して箱に入れる．ただし，異なるカードには異なる$3$次式が書かれているものとする．この箱の中から$3$枚のカードを同時に取り出し，取り出されたカードに書かれている$3$次式を$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$とする．

(2)　$f(x)+g(x)+h(x)=b_0{x}^3+b_1{x}^2+b_{2}x+b_3$として，その係数の和$b_0+b_1+b_2+b_3$を$S$で表す．$S$がとりうる値の最大値は$\boxed{\text{(38)}}\boxed{\text{(39)}}$である．また$S$が最大値をとる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(40)}}\boxed{\text{(41)}}}{\boxed{\text{(42)}}\boxed{\text{(43)}}\boxed{\text{(44)}}}}$

である．

(3)　$f(x)g(x)h(x)=c_0{x}^9+c_1{x}^8+\cdots +c_{8}x+c_9$として，その係数の和$c_0+c_1+\cdots +c_8+c_9$を$T$で表す．$T=0$となる確率は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{(45)}}\boxed{\text{(46)}}}{\boxed{\text{(47)}}\boxed{\text{(48)}}}}$

である．

【４】　$a\text{，}b$は実数の定数で$a\geqq 0\text{，}b>0$を満たすとする．$x$についての$2$次方程式

(＊)　$x^2-(2a{\log }_{10}2)x+{({\log }_{10}b)}^2=0$

を考える．

(1)　$a=3$のとき，方程式(＊)が実数解をもたないような$b$の値の範囲を求めよ．

(2)　方程式(＊)が実数解をもつための必要十分条件を$a\text{，}b$を用いて表し，その条件を満たす領域を$ab$平面上に図示せよ．

【５】　$\mathrm{N}=\{1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \}$を自然数全体の集合とする．集合$\mathrm{S}$を

$\mathrm{S}=\{(x,y)|x\in \mathrm{N}\text{，}y\in \mathrm{N}\}$

と定める．$\mathrm{S}$の$2$つの要素$(a,b)\text{，}(c,d)$に対して，次の条件$\mathrm{P}$または$\mathrm{Q}$が成り立つとき，$(a,b)◃(c,d)$と表すことにする．

• $\mathrm{P}:a+b<c+d$，
• $\mathrm{Q}:a+b=c+d\text{かつ}a<c$．

また$\mathrm{S}$の要素$(m,n)$に対して集合$\mathrm{T}(m,n)$を

$\mathrm{T}(m,n)=\{(x,y)|(x,y)\in \mathrm{S}\text{，}(x,y)◃(m,n)\}$

と定める．

(1)　$\mathrm{T}(2,3)$の要素をすべて書き並べよ．

(2)　$\mathrm{T}(1,n)$の要素の個数を$n$の式で表せ．

(3)　$\mathrm{T}(2,n)$の要素の個数を$n$の式で表せ．

(4)　$\mathrm{S}$の要素$(x,y)$に対して$w(x,y)=2^x\cdot 2^y$とおく．$\mathrm{T}(2,n)$のすべての要素$(x,y)$に対する$w(x,y)$の和を$n$の式で表せ．

【６】　$a\text{，}b$を実数の定数とし，$2$次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して

$F(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

とおく．関数$y=F(x)$は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるものとする．

(1)　方程式$f(x)=0$は異なる$2$つの実数解をもつことを示せ．

(2)　$F(\alpha )-F(\beta )={\displaystyle \frac{1}{6}}{(\beta -\alpha )}^3$となることを示せ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta$がさらに不等式${\alpha }^2+{\beta }^2\leqq 2$を満たすとする．このとき$F(\alpha )-F(\beta )$のとりうる値の範囲を求めよ．