2007　上智大学　地球法，英語，心理学科2月5日実施MathJax

【１】

(1)　$a\text{，}b$を実数とする．$\boxed{\text{あ}}\text{〜}\boxed{\text{お}}$には下の選択肢から正しいものを選べ．

(ⅰ)　$a$と$b$がともに有理数であることは，$a+b$と$ab$がともに有理数であるための$\boxed{\text{あ}}$

(ⅱ)　$a$と$b$がともに無理数であることは，$a+b$と$ab$がともに無理数であるための$\boxed{\text{い}}$

(ⅲ)　$a$と$b$がともに正であることは，$a^3+b^3$と$a^3{b}^3$がともに正であるための$\boxed{\text{う}}$

(ⅳ)　$a^2+b^2<2$であることは，$|a|+|b|<3$であるための$\boxed{\text{え}}$

(ⅴ)　$a^2+b^2<2$であることは，${\log }_2(1+a^2)+{\log }_2(1+b^2)<2$であるための$\boxed{\text{お}}$

選択肢：

• $\text{①}$　必要条件であるが十分条件ではない．
• $\text{②}$　十分条件であるが必要条件ではない．
• $\text{③}$　必要十分条件である．
• $\text{④}$　必要条件でも十分条件でもない．

【１】

(2)　$k$を実数とする．直線$y=kx+6$と曲線$y=3x^3-2x$が異なる$3$点で交わるための必要十分条件は$k>\boxed{\text{ア}}$である．

【１】

(3)　$1$次関数$y=f(x)$はどのような実数$c$に対しても

${\displaystyle {\int }_0^3}(x+c)f(x)dx=9$

をみたす．このとき$f\left(x\right)=\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}$である．

【２】　四角形$\mathrm{ABCD}$は円$O$に内接し，各辺の長さは$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=1\text{，}\mathrm{CD}=2\text{，}\mathrm{DA}=3$である．

(1)　$\mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{エ}}}\text{，}\angle \mathrm{BCD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\pi$である．

(2)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．

(3)　円$O$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\pi$である．

(4)　$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}\text{，}\mathrm{DA}$に接する円の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$である．

【３】　$n$を自然数とし，座標平面上の直線

$l_n:3x+5y=n$

を考える．$x$座標と$y$座標がともに$0$以上の整数である$l_n$上の点の個数を$N(n)$とする．例えば，$N(1)=N(2)=N(4)=0$であり，$n=3$のとき，条件をみたす$l_3$上の点は$(1,0)$のみなので$N(3)=1$である．

(1)　$N(10)=\boxed{\text{セ}}\text{，}N(21)=\boxed{\text{ソ}}$である．

(2)　$N(111)=\boxed{\text{タ}}\text{，}N(112)=\boxed{\text{チ}}$である．

(3)　$N(n)=2$となる最小の$n$は$\boxed{\text{ツ}}$である．

(4)　$N(n)=0$となる最大の$n$は$\boxed{\text{テ}}$である．

(5)　自然数$m\text{，}n\text{（}m<n\text{）}$は

$N(m)=N(m+1)=\cdots =N(n)=1$

をみたすとする．$n-m$が最大となるのは$m=\boxed{\text{ト}}\text{，}n=\boxed{\text{ナ}}$のときである．