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2007-13363-0301
2007 上智大学 総合人間(社会),
法(国際関係法)学部
2月7日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 2 次方程式 x2 +3⁢ x+4= 0 の 2 つの解を α ,β とする.
(ⅰ) α3= ア ⁢α +12 であり, α3+ 2⁢β ,β 3+2⁢ α を 2 つの解とする 2 次方程式は x 2+ イ ⁢ x+ ウ =0 である.
(ⅱ) k を 1 でない定数とする. α +kα +1 , β +kβ +1 ( k≠ 1) を 2 つの解とする 2 次方程式は
2⁢x2 +( エ⁢ k+ オ ) ⁢x+( カ ⁢ k2 + キ ⁢k+ ク ) =0
である.
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(2) v を正の有理数とし,
A=v ,B= 2v , C= 12⁢ (v +2 v) ,D= 4 v+ 2v , E=2
とする. A ,B ,C ,D ,E の大小関係は 0< v< ケ ならば
あ< い< う< え< お であり,
ケ <v ならば
か < き < く < け < こ である.
ただし, あ 〜 お , か〜 こ には, A 〜 E の中からそれぞれ正しいものを選べ.
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【2】 a を実数とし,座標平面において次の式で与えられる放物線 C 1, C2 を考える.
(1) C1 と C2 が異なる 2 点で交わるための必要十分条件は
コ< a< サ
である.このとき, C1 と C2 の 2 つの交点を通る直線の方程式は
y=( シ ⁢ a2+ ス⁢ a+ セ )x + ソ ⁢a 2+ タ⁢ a+ チ
(2) a=1 とする.このとき, C1 と C2 の両方に接する直線は 2 本あり,
で与えられる.ここで テ > ナ である.また, C1 の下側にあり, C1 , C2 , l1 で囲まれた図形の面積は ニ+ ヌ ⁢ ネ である.
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【3】 ▵OXY において OX= OY=5 , ∠XOY= 30° とする. M を辺 XY の中点とし, Z を OZ =2 となる線分 OM 上の点とする.また,点 P ,Q , R はそれぞれ線分 OX , OY ,OM 上を動くものとする.
(1) 点 Z と直線 OX の距離は ノ - ハ ヒ である.
(2) OR=1 のとき, RQ+QZ の最小値を L とすると, L2 = フ + ヘ ⁢ ホ である.
(3) RQ+QZ は OQ= マ ⁢ ミ- ム , OR= メ のとき,最小値 モ をとる.
(4) RP+PQ+ QZ は OP= ヤ - ユ ,OQ= ヨ , OR= ラ のとき,最小値 リ をとる.