2007　上智大学　経済(経済)学部2月10日実施MathJax

【１】　

$f(x)=4\cdot 8^x-3\cdot 2^x-1$

とおく．

(1)　$f(x)=0$となるのは，$x=\boxed{\text{ア}}$のときである．

(2)　$f(x)=-1$となるのは，

$x=\boxed{\text{イ}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\log }_2\boxed{\text{ウ}}$

のときである．ただし，$\boxed{\text{ウ}}$は奇数とする．

(3)　$f(x)$は，$x=\boxed{\text{エ}}$のとき，最小値$\boxed{\text{オ}}$をとる．

(4)　$f(x)=a$が相異なる$2$つの実数解を持つのは，$\boxed{\text{カ}}<a<\boxed{\text{キ}}$のときである．

【２】　$a\ne 0$とする．

(1)　$x$に関する$2$次方程式

${\displaystyle \frac{1}{a}{x}^2+\frac{1}{a}x-\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}}=0$

が重解をもつのは，$a=\boxed{\text{ク}}$のときである．

(2)　この$2$次方程式の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とする．$a\geqq \boxed{\text{ク}}$のとき

$|\alpha -\beta |=\boxed{\text{ケ}}a+\boxed{\text{コ}}$

である．

(3)　放物線

$C:y={\displaystyle \frac{1}{a}{x}^2+\frac{1}{a}x-\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}}$

の軸の方程式は$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}$である．$a$が$a>0$の範囲で変化するとき，$C$が通らない点$(x,y)$の全体を$D$とする．

(ⅰ)　点$(0,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$は$D$に$\boxed{\text{あ}}$

(ⅱ)　点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$は$D$に$\boxed{\text{い}}$

(ⅲ)　点$(-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})$は$D$に$\boxed{\text{う}}$

(ⅳ)　点$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},-1)$は$D$に$\boxed{\text{え}}$

$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}\text{，}\boxed{\text{う}}\text{，}\boxed{\text{え}}$の選択肢

• a.　属する．
• b.　属さない．

(4)　$|x|\leqq 1\text{，}|y|\leqq 1$の範囲にある$D$の点で，$x$も$y$も整数である点は$\boxed{\text{ス}}$個ある．

【３】　立方体$\mathrm{ABCD}-\mathrm{EFGH}$において，$1$つの頂点$\mathrm{A}$から，それと面を共有しない頂点$\mathrm{G}$まで，辺または面の対角線をたどって進む経路を考える．

(1)　辺$3$本からなる経路は$\boxed{\text{セ}}$通りである．

(2)　対角線$1$本と辺$1$本からなる経路は$\boxed{\text{ソ}}$通りである．

(3)　対角線$1$本と辺$2$本からなる経路は$\boxed{\text{タ}}$通りである．

(4)　対角線$2$本と辺$1$本からなる経路は$\boxed{\text{チ}}$通りである．

(5)　対角線$1$本と辺$3$本からなる経路は$\boxed{\text{ツ}}$通りである．

　ただし，同じ辺は$2$回通らないものとする．