2007　上智大学　理工(数・物・電)学部2月12日実施MathJax

【１】　$A\text{，}B\text{，}C$を定数とし，$x$の関数

$f(x)=A{e}^x+B\sin x+Cx\sin x$

を考える．

(1)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\infty$であるための必要十分条件は$\boxed{\text{あ}}$である．

(2)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$が存在して有限の値であるための必要十分条件は$\boxed{\text{い}}$である．

(3)　すべての$x$に対して$|f(x)|\leqq M$であるような，$x$によらない定数$M$が存在するための必要十分条件は$\boxed{\text{う}}$である．

(4)　$f(x)=0$を満たすいくらでも大きな$a$が存在するための必要十分条件は$\boxed{\text{え}}$である．

$\boxed{\text{あ}}$から$\boxed{\text{え}}$の選択肢

• (a)　$A=0$
• (b)　$B=0$
• (c)　$C=0$
• (d)　$A\ne 0$
• (e)　$B\ne 0$
• (f)　$C\ne 0$
• (g)　$A=B=0$
• (h)　$B=C=0$
• (i)　$C=A=0$
• (j)　$A=B=C=0$
• (k)　$A>0$
• (l)　$A>0$かつ$C>0$
• (m)　$A>0$かつ$C>0$かつ$B=0$
• (n)　$A\ne 0$または$C\ne 0$

【２】　任意の実数$x$に対して，$x$を超えない最大の整数を$[x]$で表す．$n$を自然数として

$S(n)=1+2+\cdots +n^2={\displaystyle \sum _{k=1}^{n^2}}k$

および

$T(n)={[\sqrt{1}]}^2+{[\sqrt{2}]}^2+\cdots +{[\sqrt{n^2}]}^2={\displaystyle \sum _{k=1}^{n^2}}{[\sqrt{k}]}^2$

を考える．

　$S(n)$は$n$に関する$\boxed{\text{ア}}$次多項式でその最高次の係数は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

　一方，$T(1)=1\text{，}T(2)=7\text{，}T(3)=\boxed{\text{エ}}$であり，一般に

$T(n)={\displaystyle \frac{n^{\boxed{\text{オ}}}}{\boxed{\text{カ}}}}(\boxed{\text{キ}}{n}^3+\boxed{\text{ク}}{n}^2+\boxed{\text{ケ}}n+1)$

が成り立つ．従って，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{T(n)}{S(n)}}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{{[\sqrt{1}]}^2+{[\sqrt{2}]}^2+\cdots +{[\sqrt{n^2}]}^2}{1+2+\cdots n^2}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$

となる．

【３】　曲線$y=x+\sin x$と曲線$x=y+\sin y$の第$1$象限の部分を考える．

(1)　第$1$象限にあるこの$2$曲線の交点のうち原点$\mathrm{O}$に最も近い交点$\mathrm{P}$の座標は$(\boxed{\text{シ}}\pi ,\boxed{\text{ス}}\pi )$である．

(2)　この$2$曲線の$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{P}$の間にある部分で囲まれる図形の面積は$\boxed{\text{セ}}$である．

(3)　第$1$象限にあるこの$2$曲線の交点のうち原点$\mathrm{O}$に$2$番目に近い交点$\mathrm{Q}$の座標は$(\boxed{\text{ソ}}\pi ,\boxed{\text{タ}}\pi )$である．

(4)　曲線$y=x+\sin x\text{，}x$軸および点$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる回転体の体積は

$({\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{\pi }^{\boxed{\text{テ}}}+\boxed{\text{ト}}){\pi }^2$

である．

【４】　座標平面上に運動する点$\mathrm{P}(x,y)$の時刻$t\text{（}0\leqq t<2\pi \text{）}$における座標が

• $x=\sqrt{3}\cos t+\sin t$
• $y=2\cos t\sin t+1$

であるとき，点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とする．

(1)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき$t_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}\pi$で$x$は最大値$\boxed{\text{ヌ}}$をとる．曲線$C$と$y$軸に平行な直線との共有点の個数の最大値は$\boxed{\text{ネ}}$であり，$C$と$x$軸に平行な直線との共有点の個数の最大値は$\boxed{\text{ノ}}$である．

(2)　$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$(\boxed{\text{ハ}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヒ}}-\sqrt{3}}{\boxed{\text{フ}}}})$を異なる時刻$t_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}\pi$と$t_3={\displaystyle \frac{\boxed{\text{マ}}}{\boxed{\text{ミ}}}}\pi$（ただし$t_2<t_3$）で通過する．$t=t_2$のとき速度は$(\boxed{\text{ム}},\boxed{\text{メ}})\text{，}t=t_3$のとき速度は$(\boxed{\text{モ}},\boxed{\text{ヤ}})$である．

(3)　時刻$t$において$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．$t$が$t_1\leqq t\leqq t_2$の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PH}$が動いて作る図形の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ユ}}}{\boxed{\text{ヨ}}}+\frac{\boxed{\text{ラ}}\sqrt{\boxed{\text{リ}}}}{\boxed{\text{ル}}}}$である．

【１】　座標平面上の点$(x,y)$が$-1\leqq x\leqq 1\text{，}0\leqq y\leqq 2$の範囲を動くとき，点$(x+y,xy)$の動く範囲を図示せよ．また，このとき

${\displaystyle \frac{xy+m}{x+y+2}}$（ただし$m$は定数）

の最大値を求めよ．