2007　上智大学　理工(数)学部2月12日実施

【１】　関数の列$P_1(x)\text{，}{P}_2(x)\text{，}\cdots \text{，}{P}_n(x)\text{，}\cdots$を

• $P_1(x)=1-x^2\text{，}$
• $P_{n+1}(x)=P_n(x)+x^2{P_n}^{\prime }(1-x^2)+(1-x^2){P_n}^{″}(n)$$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

によって定める．ただし，${P_n}^{\prime }(x^2-1)$は$P_n(x)$の導関数${P_n}^{\prime }(x)$と$1-x^2$の合成関数を表し，${P_n}^{″}(x)$は$P_n(x)$の第$2$次導関数を表す．

(1)　$P_n(x)$は$x$の整式であることを示し，整理された$P_n(x)$において最大の次数をもつ項を求めよ．

(2)　整式$P_n(x)$は偶数次の単項式の和になることを示せ．

(3)　整式$P_n(x)$は$x^2-1$で割り切れることを示せ．

【２】(1)　$xy$平面上で，曲線

$y=x^3-6x^2+9x$

を$C$とし，直線

$y=kx$（ただし，$k$は定数）

を$l$とする．

(ⅰ)　$C$と$l$が異なる $3$点で交わるための必要十分条件を$k$の条件で表せ．

(ⅱ)　$k$が(ⅰ)の条件を満たすとき，$C$と$l$によって囲まれる$2$つの図形の面積が等しくなるような$k$の値を求めよ．

(2)　$a\text{，}b$を正の定数とする．$x^3-a{x}^2+bx=0$は異なる$3$つの実数解をもつとし，その最大のものを$c$とする．

${\displaystyle {\int }_0^c}(x^3-a{x}^2+bx)dx=0$

が成り立つとき，$b$を$a$の式で表せ．

【３】　$xy$平面の原点を中心とする円$x^2+y^2=1$を$C$とし，$x$軸に平行な$2$つの直線$y=1$と$y=-1$の和集合を$L$とする．

　$\mathrm{P}$を$xy$平面上の点とする．点$\mathrm{A}$が円$C$上を動くとき，線分$\mathrm{PA}$の長さの最小値を$\mathrm{P}$と$C$との距離といい，$d(\mathrm{P},C)$で表す．特に$\mathrm{P}\in C$であれば$d(\mathrm{P},C)=0$である．同様に，点$\mathrm{B}$が和集合$L$上を動くとき，線分$\mathrm{PB}$の長さの最小値を$\mathrm{P}$と$L$との距離といい，$d(\mathrm{P},L)$で表す．

　$d(\mathrm{P},C)\leqq d(\mathrm{P},L)$を満たすような点$\mathrm{P}$の全体の集合を$M$で表す．

(1)　$M$を$xy$平面上に図示せよ．

(2)　$xy$平面上で，$|y|\leqq 1$の表す集合と集合$M$との共通部分の面積を求めよ．