2007　上智大学　理工(数)学部推薦MathJax

【１】　$xy$平面上の曲線$y=x\sqrt{x}\text{（}x>0\text{）}$を$C$とする．

(1)　点$\mathrm{A}(1,0)$を通り，曲線$C$上の点$\mathrm{B}$で曲線$C$に接する接線の方程式と点$\mathrm{B}$の$x$座標を求めよ．

(2)　原点を$\mathrm{O}$とする．曲線$C$と線分$\mathrm{OA}$と$\mathrm{AB}$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

【２】　$j\text{，}k$を$0$以上の整数とする．

$I(j,k)={\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{{(1-x)}^j{x}^k}{j!k!}}dx$

とおく．ただし，$0!=1$とする．

(1)　$j\geqq 1$のとき，$I(j,k)=I(j-1,k+1)$を証明せよ．

(2)　値$I(j,k)$を求めよ．

(3)　サイコロを$2$回続けて投げて，はじめに出た目を$j\text{，}$次に出た目を$k$とする．このとき，最も高い確率で起こりうる$I(j,k)$の値とその確率を求めよ．

【３】(1)　$a$を実数とする．$x\text{，}y$を正の実数とし，$t={\log }_{2}x\text{，}s={\log }_{2}y$とする．命題

「${\log }_{8}x+{\log }_{\frac{1}{4}}y<1$を満たすならば，$x\leqq 2$または${\log }_{8}y\geqq a$である」

を$x\text{，}y$のかわりに$t\text{，}s$を用いて書き換えよ．

(2)　上の命題が真となる$a$の範囲を求めよ．

【４】　$xy$平面上の点$\mathrm{A}(1,0)$と$\mathrm{B}(\cos \theta ,\sin \theta )$に対し，原点$\mathrm{O}$を中心とする，半径が$1\text{，}$中心角が$\theta$ラジアンの扇形$\mathrm{OAB}$を考える．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$である．自然数$n$に対し，弧$\mathrm{AB}$を$2n$等分する点を$\mathrm{A}$から順に${\mathrm{P}}_0=\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{2n}=\mathrm{B}$とする．

$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{2k}{\mathrm{P}}_{2k+1}}\\ \overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_n}={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{2k+1}{\mathrm{P}}_{2k+2}}\end{array}$

によって点${\mathrm{C}}_n\text{，}{\mathrm{D}}_n$を定める．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}+\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_n}=(a_n,b_n)$と表すとき，すべての自然数$n$に対して$a_n\text{，}{b}_n$を求め，これらの$a_n\text{，}{b}_n$が$n$によらないことを示せ．

(2)　すべての$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1$に対し

$|\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{2k}{\mathrm{P}}_{2k+1}}-\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{2k+1}{\mathrm{P}}_{2k+2}}|=2(1-\cos ({\displaystyle \frac{\theta }{2n}}\left)\right)$

を示せ．

(3)　

$\underset{n\to \infty }{\lim }|\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}-\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{D}}_n}|=0$

を示せ．

(4)　$\overrightarrow{\mathrm{O}{\mathrm{C}}_n}=(x_n,y_n)$と表すとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を求めよ．