2007　聖母大学　看護学部MathJax

【１】　$a$を実数の定数とし，$f(x)=x^2-6x+4\text{，}g(x)=x^2-ax+a-1$とする．

(1)　$2$次方程式$f(x)=0$を解くと$x=\boxed{\text{ア}}\pm \sqrt{\boxed{\text{イ}}}$である．この$2$解を$p\text{，}q$（ただし，$p<q$）としたとき，${\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}+\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$であり，${\displaystyle \frac{q}{p}}$の整数部分は$\boxed{\text{キ}}$である．

(2)　$g(x)=(x-\boxed{\text{ク}})(x-a+\boxed{\text{ケ}})$と変形できる．また，$2$次不等式$f(x)>0$と$2$次不等式$g(x)\leqq 0$が共通解を持たないような$a$の値の範囲は$\boxed{\text{コ}}-\sqrt{\boxed{\text{サ}}}\leqq a\leqq \boxed{\text{シ}}+\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$である．

(3)　放物線$y=f(x)$の頂点は第$\boxed{\text{セ}}$象限にあり，その座標は$(\boxed{\text{ソ}},-\boxed{\text{タ}})$である．また，$a=\boxed{\text{チ}}$のとき，放物線$y=g(x)$と$x$軸は接し，このとき放物線$y=g(x)$を$x$軸方向に$\boxed{\text{ツ}}$，$x$軸方向に$-\boxed{\text{テ}}$だけ平行移動すると放物線$y=f(x)$と一致する．

(4)　関数$y=g(x)\text{（}0\leqq x\leqq 3$）の最大値が$3$となるのは，$a=\boxed{\text{ト}}$または$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$のときである．

【２】　$1$から$100$までの整数を書いたカードをそれぞれ$1$枚ずつ箱に入れた．

(1)　箱から無作為にカードを$1$枚引いたとき，$3$の倍数のカードを引く確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエオ}}}}$であり，$7$の倍数のカードを引く確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$であり，$3$と$7$の少なくとも一方で割り切れる数のカードを引く確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシス}}}}$である．

(2)　箱から無作為にカードを$1$枚引いては戻すことを$5$回繰り返したとき，$5$回とも偶数のカードを引く確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$であり，偶数のカードをちょうど$3$回引く確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

(3)　箱から無作為にカードを$3$枚引いたとき，$3$枚のカードに書かれた数の積が偶数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{トナ}}}{\boxed{\text{ニヌ}}}}$であり，$3$枚のカードに書かれた数の積が$4$の倍数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネノ}}}{\boxed{\text{ハヒフ}}}}$である．

(4)　箱から無作為にカードを$1$枚引き，その数を$4$で割った余りを$X$とするとき，$X$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}}}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=3\text{，}\mathrm{AB}=4\text{，}\mathrm{BC}=a$とし，$▵\mathrm{ABC}$の面積を$S\text{，}$外接円の半径を$R\text{，}$内接円の半径を$r$とする．

(1)　$a$は$\boxed{\text{ア}}<a<\boxed{\text{イ}}$を満たす．

(2)　$a=5$のとき$\angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{ウエ}}°\text{，}S=\boxed{\text{オ}}$である．

(3)　$\angle \mathrm{CAB}=60°$のとき，$a=\sqrt{\boxed{\text{カキ}}}\text{，}$$S=\boxed{\text{ク}}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}\text{，}$$R={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{コサ}}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}$$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}\sqrt{\boxed{\text{セ}}}-\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}}$である．

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の外接円における円弧$\mathrm{CB}$上に点$\mathrm{D}$があり，$▵\mathrm{BCD}$が正三角形になるとき，$\angle \mathrm{CAB}=\boxed{\text{ツテト}}°$であり，四角形$\mathrm{ABDC}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}$であり，$\mathrm{AD}=\boxed{\text{ノ}}$である．ただし，点$\mathrm{D}$は辺$\mathrm{BC}$に関して点$\mathrm{A}$と反対側にあるものとする．