2007　東邦大学　医学部医学科MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(1)　各位の数字の和が$6$になる$3$桁の自然数の個数は$\boxed{\text{アイ}}$個である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(2)　$2$次方程式の$1$つの解を${\displaystyle \frac{4}{1-i}}$とする．ただし$i=\sqrt{\mathrm{-1}}$である．このとき$2$つの解をそれぞれ$\alpha \text{，}\beta$とすれば，${\displaystyle \frac{1}{{\alpha }^3}+\frac{1}{{\beta }^3}=\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\sqrt{3}\text{，}\mathrm{BC}=\sqrt{6}\text{，}\mathrm{CA}=3+\sqrt{3}$であるとき，$\angle \mathrm{B}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}\pi$ラジアンである．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(4)　放物線$y=x^2+2x+1$の頂点を$\mathrm{A}\text{，}$放物線$y=x^2-2x+2$の頂点を$\mathrm{B}$とし，両放物線の交点を$\mathrm{C}$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る放物線と$y$軸の交点の座標は$(0,{\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}})$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(5)　$a$を定数，$t$を$\mathrm{-1}$と異なる実数とする．

　$3$次関数$y=(1+t)x^3+2(a-3t)x^2+(a^2+8t)x$のグラフが，$t$の値にかかわらず通る$3$定点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とする．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が一直線上にあるとき，$a=\boxed{\text{シス}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(6)　$xyz$空間に$4$点$\mathrm{A}(6,6,8)\text{，}\mathrm{B}(3,15,2)\text{，}\mathrm{C}(\mathrm{-1},9,12)\text{，}\mathrm{D}(11,5,3)$がある．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面と$xy$平面とが交わる線上の点を$\mathrm{P}$としたとき，線分$\mathrm{PD}$の長さの最小値は$\sqrt{\boxed{\text{セソ}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(7)　$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}J=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{-1}\\ 1& 0\end{array}\right)$とする．

　このとき${(E+J)}^9=\boxed{\text{タチ}}E+\boxed{\text{ツテ}}J$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(8)　${\log }_2(x+\sqrt{x^2-2})-{\log }_2(x-\sqrt{x^2-2})=3$であるとき，$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(9)　$t$が実数値をとって変化するとき，次の式で示される点$(x,y)$の全体に点$(0,1)$を加えて表される曲線を$C$とする．

$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{t+1}}\\ y=1-{\displaystyle \frac{1}{t^2+2t+2}}\end{array}$

　$C$の接線の傾きの最大値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【１】　以下の各問に答えよ．解答は解答用マークシートに記入せよ．

(10)　${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}dx$の値を$\alpha$とすると，$e^{\alpha }=\boxed{\text{ノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}$である．ただし，$e$は自然対数の底である．

【２】　以下の$\boxed{\text{ヒ}}$にあてはまる式を解答用紙の該当する欄に記入せよ．途中の計算など余分な事項を記入してはいけない．

　$\angle \mathrm{A}$を直角とする直角三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$とする．また斜辺$\mathrm{BC}$を$(n+1)$等分する点をそれぞれ${\mathrm{D}}_1\text{，}{\mathrm{D}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{D}}_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}({({\mathrm{AD}}_1)}^2+{({\mathrm{AD}}_2)}^2+\cdots +{({\mathrm{AD}}_n)}^2)$を，$b$と$c$を用いて表すと$\boxed{\text{ヒ}}$である．

【２】　以下の問題に対して，解答用紙の該当する欄に途中の経過と解を記入すること．たんに解のみが記入されていても採点の対象とならない．

　直径を$\mathrm{AB}$とする半径$1$の半円を考える．$\mathrm{AB}$に平行な直線がこの円弧と$2$点で交わるとする．この交点のうち$\mathrm{A}$から遠い方を$\mathrm{C}\text{，}$近い方を$\mathrm{D}$とする．ここで$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{M}$とし，$\mathrm{CM}=x$する．また，$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とし，$\mathrm{ME}=h$とする．このとき，$▵\mathrm{CDE}$の面積を最大にする$x$を求めたい．

(1)　台形$\mathrm{ABCD}$の高さを，$x$を用いて表せ．

(2)　$h$を，$x$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{CDE}$の面積を最大にする$x$を求めよ．