2007　東邦大学　医学部看護学科MathJax

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(1)　$x^2-3x-2=0$を解け．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(2)　${\displaystyle \frac{6-\sqrt{12}}{1+\sqrt{3}}}$の分母を有理化して簡単にせよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(3)　次の命題が真であれば○，偽であれば判例を解答欄に記入せよ．

$a$と$b$が共に整数で$(a-1)(b-1)=1$ならば$a=b=2$である．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(4)　$▵\mathrm{ABC}$の内接円の半径は${\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{3}}$である．

　$3$辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の和が$18$のとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

【１】　以下の各問に答えよ．（結果のみ答えよ）

(5)　箱の中に$10000$円のアタリくじ$1$本，$5000$円のアタリくじ$2$本，ハズレくじ$47$本のあわせて$50$本のくじが入っている．

　ここからくじを$1$本引くときのアタリ金額の期待値を求めよ．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(1)　$x^2+xy+xz-z^2$を因数分解すると$x^2+xy+yz-z^2=\boxed{\text{１}}$となる．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(2)　不等式$|2M+1|<M+2\sqrt{3}$を満たす整数$M$は全部で$\boxed{\text{２}}$個ある．

　ただし，$||$は絶対値記号である．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(3)　$a+b=\sqrt{3}\text{，}a-b=\sqrt{7}$のとき，$ab=\boxed{\text{３}}\text{，}{a}^3-b^3=\boxed{\text{４}}$である．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(4)　$x$の$2$次関数$y=a{(x+b)}^2+c$のグラフが$3$点$(\mathrm{-3},0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,6)$を通るとき，$a+c=\boxed{\text{５}}$となる．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(5)　$\boxed{0}\text{，}\boxed{1}\text{，}\boxed{2}\text{，}\boxed{3}\text{，}\boxed{4}$と数字が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつある．これら$5$枚のカードから$3$枚取り出して並べると，$3$桁の整数は全部で$\boxed{\text{６}}$通りでき，そのうち$6$の倍数となる整数は$\boxed{\text{７}}$通りである．

　ただし，例えば$\boxed{0}\boxed{1}\boxed{2}$は$3$桁の整数とは考えないものとする．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(6)　$0°\leqq \theta \leqq 180°$で${\displaystyle {\sin }^2\theta -\frac{1}{1+{\tan }^2\theta }=\frac{1}{2}}$のとき，$\sin \theta =\boxed{\text{８}}$である．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(7)　白球$3$球，赤球$9$球が入った袋から$1$球取り出し，色を調べてからもとに戻す．これを$3$回行うとき，すべて同じ色の球が出る確率は$\boxed{\text{９}}$で，異なる色の球が出る確率は$\boxed{\text{10}}$である．

【２】　$\boxed{\text{１}}$と$\boxed{\text{11}}$には適する数式を，$\boxed{\text{２}}\text{〜}\boxed{\text{10}}$と$\boxed{\text{12}}$には適する数値を補え．

(8)　${\displaystyle \sum _{k=8}^{19}}(k-7)(4k-33)={\displaystyle \sum _{p=1}^{12}}p(\boxed{\text{11}})=\boxed{\text{12}}$である．

【３】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さは$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$である．

　今，$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1$とする．

　同様に$▵{\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）の$3$辺${\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k\text{，}{\mathrm{C}}_k{\mathrm{A}}_k\text{，}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k$を$1:2$に内分する点をそれぞれ${\mathrm{A}}_{k+1}\text{，}{\mathrm{B}}_{k+1}\text{，}{\mathrm{C}}_{k+1}$とする．

　$▵{\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k$の$3$辺の長さを${\mathrm{B}}_k{\mathrm{C}}_k=a_k\text{，}{\mathrm{C}}_k{\mathrm{A}}_k=b_k\text{，}{\mathrm{A}}_k{\mathrm{B}}_k=c_k$として次の各問に答えよ．ただし，例えば${(a_1)}^2$は$a_1\times a_2$のこととする．

(1)　$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{A}$とする．

　$\cos \angle \mathrm{A}$と${(a_1)}^2$の値を$a\text{，}b\text{，}c$を使ってそれぞれ表せ．

(2)　${(a_1)}^2+{(b_1)}^2+{(c_1)}^2$の値を$a\text{，}b\text{，}c$を使って表せ．

(3)　$a=\sqrt{11}\text{，}b=\sqrt{17}\text{，}c=\sqrt{26}$のとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^5}\{{(a_k)}^2+{(b_k)}^2+{(c_k)}^2\}$

を計算せよ．