2007　東邦大学　薬学部

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　サイコロを$3$回投げたとき，出た目の数のうち最大のものを$X$とすると$X=2$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウエ}}}}$である．

(2)　サイコロを$2$回投げたとき，出た目を順に$a\text{，}b$とする．

　$a>b$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カキ}}}}$である．

　$X$を次のように定める．$a\leqq b$のとき$X=b\text{，}a>b$のときもう$1$度サイコロを投げて出た目を$X$とする．

　$X=3$となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

【２】　$0°\leqq x<360°$とし，不等式

$2{\log }_3|\cos 2x|\leqq {\log }_3(\sin x)+{\log }_3(\cos x)+1\cdots \text{①}$

を考える．次の問いに答えよ．

(1)　真数の性質により，$\boxed{\text{シ}}°<x<\boxed{\text{スセ}}°\text{，}\boxed{\text{ソタ}}°<x<\boxed{\text{チツ}}$である．

(2)　不等式$\text{①}$を変形し整理すると

$\boxed{\text{テ}}{\sin }^{2}2x+3\sin 2x-\boxed{\text{ト}}\geqq 0$

となるから，不等式$\text{①}$が成り立つような$x$の範囲は$\boxed{\text{ナニ}}°\leqq x<\boxed{\text{ヌネ}}\text{，}\boxed{\text{ノハ}}°<x\leqq \boxed{\text{ヒフ}}°$である．

【３】　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{BC}=5\text{，}\mathrm{CA}=4$とする．$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}\text{，}\angle \mathrm{B}$の$2$等分線と辺$\mathrm{CA}$の交点を$\mathrm{E}$とする．さらに線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BE}$との交点を$\mathrm{F}$とし，点$\mathrm{F}$より辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$として次の問いに答えよ．

(1)　$\cos A=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホマ}}}}$であるから，ベクトル$\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$の内積$\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$である．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\overrightarrow{b}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}\overrightarrow{c}$となるから$\overrightarrow{\mathrm{AF}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラリ}}}\overrightarrow{b}+\frac{\boxed{\text{ル}}}{\boxed{\text{レロ}}}\overrightarrow{c}}$である．

(3)　$\overrightarrow{\mathrm{AG}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ワ}}}{\boxed{\text{ヲ}}}}$である．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$S=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+4\cdot 2^3+\cdots +(n-1)\cdot 2^{n-2}\text{（}n\geqq 2\text{）}$を$n$を用いて表せ．ここで$2\cdot 2=2\times 2$のことである．

(2)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を公差$d$の等差数列とする．

$T=a_1+2a_2+2^2{a}_3+2^3{a}_4+\cdots +2^{n-1}{a}_n$

を$a_1\text{，}n\text{，}d$を用いて表せ．

【５】　曲線$y=4-x^2\text{（}\mathrm{-2}\leqq x\leqq 2\text{）}$上の点$(a,4-a^2)\text{（}a>0\text{）}$においてこの曲線に接線を引き，曲線，接線および直線$x=2$で囲まれる部分の面積を$S_1$とする．また，曲線，接線および直線$x=\mathrm{-2}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．次の問に答えよ．

(1)　面積$S_1\text{，}{S}_2$をそれぞれ$a$を用いて表せ．

(2)　$2$つの面積比が$S_1:S_2=8:27$となるように$a$の値を定めよ．