2007　東邦大学　理学部B日程英数択一MathJax

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{P}(0,1)$から，$y=\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0$）のグラフ$C$に引いた接線$l$の方程式は$y=\boxed{\text{ア}}x+1$であり，$l\text{，}C$および$y$軸で囲まれた部分の面積は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅱ)　$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}=2a_n+1$で定まる数列$\{a_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots$）の一般項$a_n$を$n$で表すと，$\boxed{\text{ウ}}$であり，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}=\boxed{\text{エ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅲ)　$3$つの行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right)\text{，}T=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& \mathrm{-1}\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& \mathrm{-4}\end{array}\right)$に対し，$TA{T}^{\mathrm{-1}}=B$が成立するなら，$a=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$に適する解答を，解答用紙の決められた場所に記入せよ．

(ⅳ)　正の実数$a$に対し，極方程式$r={\displaystyle \frac{a}{1+\sin \theta }}$で表される曲線は，$a=\boxed{\text{カ}}$のとき直交座標の点$\mathrm{P}(1,1)$を通る．

【２】　$f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2-1}}$とし，実数$a>1$に対し，$g(a)={\displaystyle {\int }_a^{2a}}f(x)dx$とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)={\displaystyle \frac{c}{x+1}+\frac{d}{x-1}}$となるように定数$c$と$d$を定めよ．

(ⅱ)　不定積分${\displaystyle \int }f(x)dx$を求めよ．

(ⅲ)　$g(a)$を計算せよ．

(ⅳ)　極限$\underset{a\to \infty }{\lim }g(a)$を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$で表される移動$f$により点$\mathrm{P}$が移る点を$f(\mathrm{P})$とする．点$(1,1)$を${\mathrm{P}}_0$とし，${\mathrm{P}}_1=f({\mathrm{P}}_0)\text{，}{\mathrm{P}}_2=({\mathrm{P}}_1)\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n+1}=f({\mathrm{P}}_n)$と順次定義する．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．

(ⅱ)　${\mathrm{P}}_n$の座標を$(a_n,b_n)$としたとき，$a_{n+1}$と$b_{n+1}$をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n$で表せ．

(ⅲ)　$b_n$を$n$の式で表せ．

(ⅳ)　$a_n=2^n+n{2}^{n-1}$となることを，数学的帰納法で証明せよ．