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2007-13591-0301
2007 早稲田大学 基幹理工学部,創造理工学部,先進理工学部
2月16日実施
易□ 並□ 難□
【1】 複素数 α , β ( α ,β ≠0 ) に対して, p1 =3 を初項とする数列 { pn } を
pn= 1+α n-1 +β n-1 ( n=1 , 2 ,3 , ⋯)
で定める.以下の問に答えよ.
(1) p2 ≠ 0 ,p 4≠ 0 のどちらかが成立することを示せ.
(2) 数列 {p n} がさらに次の条件をみたすとする.
このとき α ,β および p n の値を求めよ.
2007-13591-0302
【2】 定数 c に対して行列 A を
A=( 1 c 4- 1)
で定め,直線 y= x+1 上の動点 P (t- 1,t ) を A によって移動した点を Q とする.すなわち,
A⁡( t -1 t )
に対応する点を Q とする.定点 R とすべての t の値に対して, ▵PQR は P を直角の頂点とする直角三角形となるという.以下の問に答えよ.
(1) 定点 R の座標および定数 c の値を求めよ.
(2) 三角形 PQR の外接円の面積の最小値と,そのときの t の値を求めよ.
2007-13591-0303
【3】 曲線 y= e-x と y= e-x ⁢ | cos⁡x | で囲まれた図形のうち, (n- 1)⁢ π≦x ≦n⁢ π をみたす部分の面積を a n とする( n =1 ,2 , 3 ,⋯ ).以下の問に答えよ.
(1) ∫⁡ e- x⁢ cos⁡x ⁢dx =e -x ⁢(p ⁢sin⁡ x+q ⁢cos⁡ x)+ C をみたす定数 p , q を求めよ.ただし, C は積分定数である.
(2) a1 の値を求めよ.
(3) an の値を求めよ.
(4) limn →∞ ⁡( a1 +a2 +⋯ +an ) を求めよ.
2007-13591-0304
【4】 n を正の整数とするとき,以下の問に答えよ.
(1) k を正の整数とする.関数 ( 1-x) n⁢ xk の 0 ≦x≦ 1 における最大値を a n とするとき, an および limn →∞ ⁡ an を求めよ.
(2) f⁡(x ), g⁡( x) を 0 ≦x≦ 1 において定められた連続関数とする.関数 (1-x )n ⁢f⁡ (x) , (1- x)n ⁢g⁡ (x) , ( 1-x) n⁢ {f⁡ (x)+ g⁡( x)} の 0 ≦x≦ 1 における最大値をそれぞれ b n , cn ,d n とする.このとき 0 , b n+c n ,d n の大小を
≦ ≦
の形式で答え,その理由を述べよ.
(3) p ,q ,r≧ 0 を定数, f⁡(x )=p ⁢x2 +q⁢ x+r とし,関数 ( 1-x) n⁢ f⁡( x) の 0 ≦x≦ 1 における最大値を e n とする.このとき limn→ ∞⁡ en を求めよ.
2007-13591-0305
【5】 xy 平面において,点 (5⁢ 3, 0) を中心とする半径 5 の円を C , 点 ( -4⁢ 3, 0) を中心とする半径 4 の円を D とする. C ,D の共通接線のうち, C ,D が異なる側にあり傾きが正であるものを l , 傾きが負であるものを l ′ とし, C , D が同じ側にあり傾きが正であるものを m とする.以下の問に答えよ.
(1) 直線 l の方程式を求めよ.
(2) 直線 m の方程式を求めよ.
(3) 三直線 l , l ′ ,m のすべてに接し C , D と異なる円を E , E ′ とする.二円 E , E ′ の中心の x 座標を求めよ.
(4) (3)の円 E , E ′ の半径を求めよ.