2007　早稲田大学　教育学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)　$3$で割ると$2$余り，$5$で割ると$3$余り，$11$で割ると$9$余る正の整数のうちで，$1000$を越えない最大のものは$\boxed{\text{ア}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(2)　$3$辺の長さが$5\text{，}12\text{，}13$である三角形において，長さが$12\text{，}13$である$2$辺によってはさまれる角の大きさを$\theta$とする．このとき，$n°<\theta <(n+1)°$となる整数$n$は$\boxed{\text{イ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(3)　$a>0$とする．$f(x)$を，閉区間$[0,a]$で連続な実数値関数で，$f(x)+f(a-x)\ne 0\text{（}0\leqq x\leqq a\text{）}$とする．

${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{a}{2}}}}{\displaystyle \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}}dx=b$のとき，${\displaystyle {\int }_{{\displaystyle \frac{a}{2}}}^a}{\displaystyle \frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}}dx$

の値は$\boxed{\text{ウ}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$にあてはまる数または式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(4)　整数係数の多項式$f(x)$を${(x-a)}^2$で割ったときの余りを，$a\text{，}f(a)\text{，}{f}^{\prime }(a)$を使って表すと$\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　$xyz-$座標空間内の点

• $\mathrm{A}(0,0,1)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{C}(1,1,1)\text{，}\mathrm{D}(0,1,1)\text{，}$
• $\mathrm{E}(0,0,0)\text{，}\mathrm{F}(1,0,0)\text{，}\mathrm{G}(1,1,0)\text{，}\mathrm{H}(0,1,0)$

を頂点とする$1$辺の長さが$1$の立方体を考える．辺$\mathrm{BF}$上に$1$点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{BP}$の長さを$a$とする．$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{P}$を通る平面によるこの立方体の切断面の面積を$a$を用いて表せ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$を$n$等分する分点を順に$\mathrm{B}={\mathrm{P}}_0\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}\text{，}{\mathrm{P}}_n=\mathrm{C}$とする．また，三角形$\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{i-1}{P}_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n\text{）}$の面積を$S_n$とする．

(1)　$a$を正の定数とするとき，次の関数の導関数を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x\sqrt{x^2+a^2}+{\displaystyle \frac{a^2}{2}}\log (x+\sqrt{x^2+a^2})$

(2)　

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{i=1}^n}(\mathrm{A}{\mathrm{P}}_{i-1}+{\mathrm{P}}_{i-1}{\mathrm{P}}_i+\mathrm{A}{\mathrm{P}}_i)S_i$

を求めよ．ただし，平面上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を結ぶ線分の長さを$\mathrm{PQ}$で表す．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq 1\text{，}b\geqq 1$のとき，次の不等式が成立することを示せ．

$(a^2-{\displaystyle \frac{1}{a^2}})+(b^2-{\displaystyle \frac{1}{b^2}})\geqq 2(ab-{\displaystyle \frac{1}{ab}})$

(2)　$a\geqq 1\text{，}b\geqq 1\text{，}c\geqq 1$のとき，次の不等式が成立することを示せ．

$(a^3-{\displaystyle \frac{1}{a^3}})+(b^3-{\displaystyle \frac{1}{b^3}})+(c^3-{\displaystyle \frac{1}{c^3}})\geqq 3(abc-{\displaystyle \frac{1}{abc}})$