2007　南山大　経済学部2月10日実施MathJax

(1)　連立方程式

$\{\begin{array}{c}x+y+2z=15\\ 3x+2y-2z=0\\ xz=36\end{array}$

の解は，$(x,y,z)=\boxed{\text{ア}}$または$\boxed{\text{イ}}$である．

(2)　$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\cos B={\displaystyle \frac{1}{4}}$の平行四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．このとき，$2$本の対角線のうち長いほうの対角線の長さは$\boxed{\text{ウ}}$であり，この四辺形の面積は$\boxed{\text{エ}}$である．

(3)　$3$次方程式$x^3-a{x}^2+bx-15=0$の$1$つの解が$x=2+i$であるとき，実数$a\text{，}b$の値は，$(a,b)=\boxed{\text{オ}}$であり，実数解は$x=\boxed{\text{カ}}$である．

(4)　$2$つの$2$次関数$f(x)=x^2-2x+a\text{，}g(x)=-a{x}^2+2x$が，すべての実数$x_1\text{，}{x}_2$に対して，$f(x_1)\geqq g(x_2)$を満たすとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{キ}}$である．また，方程式$f(x)=g(x)$を満たす$x$がただ$1$つ存在するとき，$a$の値は$\boxed{\text{ク}}$である．

(5)　指数関数$y=2^x$のグラフを曲線$C$とする．$C$を$x$軸方向に$2\text{，}y$軸方向に$2$だけ平行移動させた曲線と$C$との交点の$x$座標は$\boxed{\text{ケ}}$である．また，$C$と直線$y=x-1$に関して対称なグラフを表す関数は$\boxed{\text{コ}}$である．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$p$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a>0$とする．原点$\mathrm{O}$を通り，曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}(a,f(a))$を頂点とする上に凸の放物線を$C\text{，}C$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を$S$とするとき，$S$を$a$と$f(a)$を用いて表せ．また，$a=1$のときの$S$の値を$S_1$とするとき，$S_1$を$p$で表せ．

(4)　(3)において，$f(x)$が$x=a$で極大になるときの$S$の値を$S_2$とする．$S_2$が(3)の$S_1$と等しいとき，$p$の値を求めよ．