2007　立命館大　文系学部Ａ方式2月7日実施

【１】

(1)　ある工場で電球を作っている．$1$か月に電球を$x$個生産するのに必要な生産費用は$({\displaystyle \frac{x^3}{30}}-10x^2+500x)$円であるとする．電球$1$個を$140$円で$x$個販売するとき，利益$\text{（}=\text{売上高}-\text{生産費用}\text{）}$を$f(x)$と表す．$f(x)$の導関数を求めると$f^{\prime }(x)=\boxed{\text{ア}}$となる．よって，$\boxed{\text{イ}}<x<\boxed{\text{ウ}}$の区間では生産量$x$を増やすと利益$f(x)$が増大する．$x=\boxed{\text{ウ}}$のとき，利益は最大となり，このときの利益は$\boxed{\text{エ}}$円である．

【１】

(2)　$▵\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2\text{，}\mathrm{AC}=3\text{，}\angle \mathrm{BAC}=60°$である．$\angle \mathrm{BAC}$の二等分線が$▵\mathrm{ABC}$の外接円と交わる点を$\mathrm{D}$とする．このとき，辺$\mathrm{BC}$の長さは$\boxed{\text{オ}}$で，線分$\mathrm{BD}$の長さは$\boxed{\text{カ}}$である．

【１】

(3)　数列$\{a_n\}$が，$a_1=-2\text{，}4a_{n+1}=5a_n+4$を満たすとき，その一般項は$a_n=\boxed{\text{キ}}$である．

【１】

(4)　$xyz$空間において，点$(3,5,6)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(1,2,-1)$に平行な直線と$yz$平面との交点の座標は$\boxed{\text{ク}}$である．

【２】(1)　$10\text{，}100\text{，}1000\text{，}10000\text{，}100000$のそれぞれの数に最も近い$11$の倍数は，$11\text{，}99\text{，}\boxed{\text{ケ}}\text{，}\boxed{\text{コ}}\text{，}\boxed{\text{サ}}$である．

(2)　(1)に基づいて，自然数が$11$の倍数となる条件を求めよう．

　$6$桁の自然数$abcdef$が$11$の倍数となる条件を$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}e\text{，}f$の式で表すと

$\boxed{\text{シ}}=11k\text{（}k\text{は整数）}$

となる．ただし，$\boxed{\text{シ}}$の各項の係数および定数項は$1$桁の整数で答えよ．

(3)　$9$桁の自然数$9876m432n\text{（}n\text{は一の位，}m\text{は万の位の数を表す）}$が$66$の倍数となる条件を考える．

　まず，この$9$桁の自然数が$11$の倍数となる条件を$m$と$n$の式で表すと

$\boxed{\text{ス}}=11l\text{（}l\text{は整数）}\cdots \text{①}$

となる．ただし，$\boxed{\text{ス}}$の各項の係数および定数項は$1$桁の整数で答えよ．

　また，この$9$桁の自然数が$3$の倍数となる条件を$m$と$n$の式で表すと

$\boxed{\text{セ}}=3p\text{（}p\text{は整数）}\cdots \text{②}$

となる．ただし，$\boxed{\text{セ}}$の各項の係数および定数項は$1$桁の整数で答えよ．

　$66=2\times 3\times 11$であること，および$\text{①}\text{，}\text{②}$を考慮して自然数$m$と$n$の組を全て求めると，$(m,n)=\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}\text{，}\boxed{\text{チ}}$である．

【３】　$3$次関数$y=-x^3+a{x}^2-3x-1$のグラフが，$x$軸と$2$つの共有点をもつような実数$a$の値を求めよ．