2007　関西大　理系学部Ａ方式MathJax

【１】　曲線$C:y=f(x)=x{e}^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減，凹凸を調べて$C$のグラフをかけ．

(2)　$C$上の点$(a,f(a))$における接線を$l_a$とし，その方程式を$y=g_a(x)$とおく．$g_a(x)$を求めよ．

(3)　$a\leqq 2$の範囲で，直線$l_a\text{，}x=-1\text{，}x=2\text{，}$および曲線$C$で囲まれた領域の面積$S(a)$を求めよ．また，$S(a)$を最小にする$a$の値を求めよ．

【２】　$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす定数とし，

$r(\theta )={\displaystyle \frac{\sqrt{2}-(2\sqrt{2}-2)\sin \theta }{4\sin \theta (1-\sin \theta )}}$

とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\theta$が$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たすとき，$r(\theta )>0$となることを示せ．

(2)　自然数$n$に対して，

$S_n=1+r(\theta )+{r(\theta )}^2+\cdots +{r(\theta )}^{n-1}$

とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$が存在するための$\theta$の値の範囲を求めよ．

(3)　$x=\sin \theta$とおく．$\theta$の値が(2)の範囲にあるとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を$x$を用いて表せ．

【３】　$n$を正の整数とする．$1$から$(2n+1)$までの番号を$1$つずつ書いた$(2n+1)$枚のカードが箱の中に入っている．この箱の中からカードを$1$枚とり出してもとに戻すという試行を$3$回行う．このとき，次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$3$回の試行でとり出したカードの番号の和が偶数になる確率は$\boxed{\text{①}}$である．

(2)　$3$回の試行でとり出したカードの番号の中で最大のものを$X$とおく．このとき，

(ⅰ)　$X$が$1$である確率は$\boxed{\text{②}}$であり，$X\leqq 2$となる確率は$\boxed{\text{③}}$である．

(ⅱ)　$r=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}2n+1$に対して，$X\leqq r$となる確率は$\boxed{\text{④}}$であり，$X=r$となる確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．

(ⅲ)　$X$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{⑥}}}{2n+1}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(1)　$x+y=1\text{，}0\leqq x\leqq 2$のとき，$x-2y^2$の最小値は$\boxed{\text{①}}\text{，}$最大値は$\boxed{\text{②}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(2)　$A\left(\begin{array}{c}1\\ -\sqrt{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\text{，}A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ \sqrt{3}\end{array}\right)$を満たす$2\times 2$行列$A$は，$A=\boxed{\text{③}}\text{，}A$の逆行列$A^{-1}$は，$A^{-1}=\boxed{\text{④}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(3)　${(x^3+{\displaystyle \frac{3}{x^2}})}^5$を展開したときの定数項（$x$を含まない項）は$\boxed{\text{⑤}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(4)　$k$は実数の定数で$k\ne 0$とする．$a_1=1\text{，}k{a}_n+(2-k)a_{n-1}=1\text{，}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$は，$k$の値の範囲が$\boxed{\text{⑥}}$であるとき収束し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\boxed{\text{⑦}}$である．

【４】　次の$\boxed{}$をうめよ．

(5)　$\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{h}}{\displaystyle {\int }_0^{\sin h}}(1-2\cos 2t)dt$の値は$\boxed{\text{⑧}}$である．