2007　広島修道大学　人文人関学科，経済前期Ａ日程MathJax

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑧}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(1)　${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}$の分母を有理化すると$\boxed{\text{①}}$となる．また，$\sqrt{2}=1.414\text{，}\sqrt{3}=1.732$とするとき，${\displaystyle \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\boxed{\text{②}}}$である（ただし，小数第$4$位を四捨五入し，小数第$3$位までを求めよ）．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑧}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(2)　整式$P(x)=x^3+a{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}$を$1$次式$2x+1$で割ったときの余りが$0$となるのは$a=\boxed{\text{③}}$のときである．このとき，$P(x)$を$1$次式の積で表すと$P(x)=\boxed{\text{④}}$となる．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑧}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(3)　$3$人の友人が贈り物を交換することにした．各人が自分の贈り物に名前を記して見分けのつかない箱に入れ，一カ所に集めてから改めて各人に配る．このとき，ひとりも自分の贈り物を自分で受け取ることのない確率は$\boxed{\text{⑤}}$である．$4$人の友人で同様のことをした場合，同様にひとりも自分の贈り物を自分で受け取ることのない確率は$\boxed{\text{⑥}}$である．

【１】　空欄$\boxed{\text{①}}$から$\boxed{\text{⑧}}$にあてはまる数値または式を，解答用紙の該当する番号の枠に記入せよ．

(4)　${\log }_4({}_{n}C_0+{}_{n}C_1+\cdots +{}_{n}C_n)=100$を満たす自然数$n$の値は$\boxed{\text{⑦}}$である．また${\log }_2{1}^2+{\log }_2{2}^2+{\log }_2{3}^2+\cdots +{\log }_2{k}^2>20$を満たす最小の自然数$k$の値は$\boxed{\text{⑧}}$である．

【２】　$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,-3)\text{，}\mathrm{B}(0,-6)$について，次の各問に答えよ．

(1)　$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る円の方程式を求めよ．

(2)　(1)の円と直線$y=3x+n$が接するとき，定数$n$の値を求めよ．

(3)　$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$からの距離の$2$乗の和が$15$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　$f(x)=8x^4-8x^2+1$のとき，次の各問に答えよ．

(1)　$f(\cos \theta )=f(\sin \theta )=\cos 4\theta$であることを証明せよ．

(2)　$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}f(\sqrt{|t|})dt$とおくとき，$g(x)=0$を満たす実数$x$の値をすべて求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(1)　整式$P(x)=x^3+a{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}$が$1$次式$2x+1$で割り切れるように，定数$a$の値を定めよ．さらに，$P(x)$を$1$次式の積で表せ．

【１】　次の各問に答えよ．

(2)　$2$次方程式$x^2+6x+10=0$の$2$つの解を$\alpha \text{，}\beta$とするとき${\left({\displaystyle \frac{1}{\alpha }}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{\beta }}\right)}^3$の値を求めよ．

【１】　次の各問に答えよ．

(3)　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$から異なる$4$つの数を選んで並べ替えて得られる順列を$abcd$とするとき，この順列のなかで$c$が$3$と異なるものは何個あるか．