2007　福岡大学　文系前期MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を定数とするとき，$x$についての次の恒等式

$-2x^3+8x^2+ax+b+10=(2x^2+3)(cx+d)$

が成り立つとする．このとき定数$a\text{，}b$の値は$(a,b)=\boxed{\text{(1)}}$である．また，この$a\text{，}b$により数$A$が$A=b\sqrt{3}-a\sqrt{2}$と表されるとき，${\displaystyle \frac{1}{A}}$の分母を有理化すると$\boxed{\text{(2)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　変数$x$と$y$が関係式$xy={10}^3$を満たしながら$x\geqq 10\text{，}y\geqq 10$の範囲を動くとき，${\log }_{10}x$の動く範囲は$\boxed{\text{(3)}}$で，$({\log }_{10}x)({\log }_{10}y)$の最大値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　アンパン，ジャムパン，クリームパンの$3$種類のパンを組み合わせてパン$4$個入りの袋詰め商品を作る．ただし，$1$つの袋には少なくとも$2$種類のパンを入れるものとする．アンパンが少なくとも$1$個入っている商品は$\boxed{\text{(5)}}$種類である．また，クリームパンが$2$個以下であるような商品は$\boxed{\text{(6)}}$種類である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　$x$についての$2$次方程式$x^2+4x\cos \theta +4{\sin }^2\theta =0$が異なる$2$個の実数解$\alpha \text{，}\beta$を持つような$\theta$の範囲を求めると$\boxed{\text{(1)}}$であり，${\alpha }^2+{\beta }^2=10$となるのは$\theta =\boxed{\text{(2)}}$のときである．ただし，$0°<\theta <90°$とする．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=3\text{，}\mathrm{BC}=2\text{，}\mathrm{CD}=2\sqrt{2}$であるとする．対角線$\mathrm{BD}$が角$\mathrm{B}$の$2$等分線であり，その長さが$2\sqrt{3}$であるとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$の値は$\boxed{\text{(3)}}$であり，辺$\mathrm{DA}$の長さは$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　放物線$C:y=x^2-2x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$と$x$軸との交点のうち$x$の値が小さいほうの座標を$(a,0)$とおき，$C$上の点を$\mathrm{P}(p,q)$とする．ただし，$0<p<a$とする．さらに，原点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(p,0)\text{，}\mathrm{P}(p,q)\text{，}\mathrm{B}(0,q)$を頂点とする四角形$\mathrm{OAPB}$の面積を$S_1$とし，$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$S_2-S_1$を$p$の式で表せ．

(ⅱ)　$S_2-S_1$が最小となるときの$p$の値を求めよ．