2007　福岡大学　理，工，薬学部前期，医学部MathJax

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　サイコロを$3$回投げて出た目を順に並べ，$3$桁の数を作る．このようにしてできる整数のうちで偶数となるものは$\boxed{\text{(1)}}$個あり，$4$の倍数となるものは$\boxed{\text{(2)}}$個ある．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2|x|-|x-2|=0$をみたす$x$を求めると，$x=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$2|x|-|x-2|=2x+a$をみたす$x$がちょうど$3$個あるとき，$a$の値の範囲は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)=6\cos x-4\cos 2x+{\sin }^{2}x$とする．$\cos x=t$とおいて，$f(x)$を$t$を用いて表すと，$f(x)=\boxed{\text{(5)}}$である．また，$y=f(x)$のとりうる値の範囲は$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅰ)　平面上に原点$\mathrm{O}$と$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{0}\text{，}\mathrm{OA}=1\text{，}\mathrm{OB}=2\text{，}\mathrm{OC}=\sqrt{7}$であるとする．このとき，$\angle \mathrm{AOB}=\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$とすると$\cos \theta$の値は$\boxed{\text{(1)}}$である．また，三角形$\mathrm{OAB}$の面積は$\boxed{\text{(2)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{6n^2+5}{(2an+1)n}}=1$となる定数$a$の値を求めると，$a=\boxed{\text{(3)}}$である．また，$\underset{x\to 0}{\lim }\{{\log }_2(6x^2)-{\log }_2(\sqrt{3x^2+1}-1)\}$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とし，$e$は自然対数の底とする．

(ⅰ)　関数$f(x)={\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^x-a}}$が$x=\log 6$で極値$p$をとるとき，$a$と$p$の値を求めよ．

(ⅱ)　(ⅰ)で求めた$a$の値に対して，定積分${\displaystyle {\int }_0^{\log 2}}{\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^x-a}}dx$の値を求めよ．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　座標平面上で，直線$y=\sqrt{3}x$に関して点$(0,2)$と対称な点$\mathrm{A}$の座標を求めると$\boxed{\text{(3)}}$である．さらに$x$軸に関して点$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{B}$とするとき，原点と点$\mathrm{B}$を通る直線が，円$x^2+{(y-a)}^2=1$に接するような定数$a$の値を求めると，$a=\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　$3$次関数$y=a{x}^3+(a+b)x^2+(a^2-7a-6)x+c$は$x=-2$で極小値をとり，$x=1$で極大値をとる．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$a$と$b$の値を求めよ．

(ⅱ)　極小値の絶対値が極大値の$8$倍であるとき，$c$の値を求めよ．

【１】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅲ)　$0\leqq x\leqq \pi$において，$f(x)=4\sin 2x+a(\sin x+\cos x)-1$とする．$\sin x+\cos x=t$とおいて，$f(x)$を$t$と$a$を用いて表すと，$f(x)=\boxed{\text{(5)}}$である．また，$0<a<8$のとき，$f(x)$の最大値を$a$を用いて表すと$\boxed{\text{(6)}}$である．

【２】　次の$\boxed{}$をうめよ．答は解答用紙の$\stackrel{\text{がいとう}}{\text{該当}}$欄に記入せよ．

(ⅱ)　$2$つの数列$p_n={\displaystyle \frac{2^{n}a-2^{-n}}{2^{n+1}-2^{-n-1}}}\text{，}{q}_n={\displaystyle \frac{9n^2+5}{(2an+1)(4n-3)}}$に対し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{q}_n$となる正の定数$a$の値を求めると，$a=\boxed{\text{(3)}}$である．またこのとき，$\underset{x\to \infty }{\lim }\{{\log }_a(2x)-{\log }_a(3x+2)\}$の値は$\boxed{\text{(4)}}$である．

【３】　関数$f(x)$は$f(x)+2{\displaystyle {\int }_0^x}\sin tdt=2+{\displaystyle \frac{8x}{x^2+16}{\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}f(t)dt}$をみたすとする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f(x)$を求めよ．

(ⅱ)　区間$-\pi \leqq x\leqq \pi$で，方程式$f(x)=k$が$3$個の実数解をもつような$k$の値の範囲を求めよ．