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2008-10007-0101
2008 室蘭工業大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 a ,b を定数とし, a>0 とする.関数 f⁡ (x) を
f⁡(x )=x2 -2⁢ a⁢x+ b
と定める.また,放物線 y= f⁡(x ) の頂点は放物線 y= 12 (x -1)2 上にあるとする.
(1) b を a を用いて表せ.
(2) 2 つの放物線 y= f⁡(x ),y =-x2 +2⁢ x がただ 1 つの共有点をもつとする.このとき, a の値を求めよ.
(3) (2)の条件のもとで,共有点の x 座標を p とする.このとき,放物線 y= f⁡(x ) と直線 x= p , および x 軸, y 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
2008-10007-0102
【2】 関数 f⁡ (x)= e-x ⁢ |sin ⁡x | について以下の問いに答えよ.ただし, e は自然対数の底とする.
(1) 方程式 f⁡ (x)= 0 の x≧ 0 における解を,小さい方から順に p ,q , r とする.このとき, p ,q , r の値をそれぞれ求めよ.
(2) 区間 p≦x≦ q における関数 f⁡ (x) の最大値を h1 とし,区間 q≦ x≦r における関数 f⁡ (x) の最大値を h2 とする.このとき, h 2h1 を求めよ.
(3) 区間 p≦ x≦q において,曲線 y= f⁡(x ) と x 軸とで囲まれた図形の面積を S1 とする.また,区間 q≦ x≦r において,曲線 y= f⁡(x ) と x 軸とで囲まれた図形の面積を S2 とする.このとき, S 2S1 =h 2h1 であることを示せ.
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【3】 数列 {an } が次の条件を満たすとする.
a1= 1 ,a2 =6 ,an +2= 6⁢a n+1 -9⁢a n( n=1 ,2 ,3 ,⋯ )
(1) bn= an+ 1-3 ⁢an とおくとき,数列 {bn } の一般項を求めよ.
(2) 数列 {an } の一般項を求めよ.
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【4】 平面上の異なる 3 点 O ,A ,B について, |OA →| =1 , | OB→ |=2 かつ OA → と OB → のなす角は 60 ° とする.また,点 P を OP →= OB→+ tOA→ ( t は実数)と定める.
(1) 四角形 OAQP が平行四辺形となるように点 Q を定める.このとき, |OQ → | を t を用いて表せ.
(2) 直線 OQ と,点 A から直線 OQ に下ろした垂線との交点を H とする.このとき, | AH→ | を t を用いて表せ.
(3) |AH → | が最大となるような t の値を求めよ.また,そのときの | AH→ | を求めよ.
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【5】 座標平面上の点 (x0 ,y0 ) は原点 O とは異なるとする.
(1) 実数 a ,b に対して A= (a -b ba ) と定める.このとき, A( x0 y0 )=( x0 y0 ) ならば A=( 1 00 1 ) であることを示せ.
(2) 実数 p ,q ,r ,s に対して B= (p -q qp ), C=( r -s sr ) と定める.また,座標平面上の点 ( x1, y1 ) を ( x1 y1 )= B⁢ ( x0 y0 ) と定める.行列 C が C⁢ ( x1 y1 )=( x0 y0 ) を満たすとき, C を p ,q を用いて表せ.