2008　小樽商科大学　前期

【１】　次の$$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(1)　正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{X}\text{，}$辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{Y}$とする．また線分$\mathrm{AX}$と線分$\mathrm{BY}$の交点を$\mathrm{Z}$とする．このとき四角形$\mathrm{AZYD}$と四角形$\mathrm{CYZX}$の面積の比は$\text{(a)}$となる．

【１】　次の$$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(2)　方程式$l+m+n=2008$を満たす正の整数解の組$(l,m\mathrm{,}n)$は全部で$\text{(b)}$個ある．

【１】　次の$$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(3)　${\displaystyle {\int }_{-1}^3}{\left(\right|x|-1)}^2\mathit{dx}=\text{(c)}\text{．}$

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　不等式$\left|x\right|+\left|y\right|\leqq 3$の表す領域を図示せよ，

(2)　実数$x\text{，}$$y$は方程式$x^2+y^2-2y-8=0$を満たすとする．このとき，$t=\left|x\right|+\left|y\right|$の最大値を求めよ．

【３】　次の$$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(1)　関数$3{\sin }^{2}x+4\sin x\cos x-{\cos }^{2}x$の$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$における最大値$M$と最小値$m$を求めると$(M,m)=\text{(ア)}\text{．}$

【３】　次の$$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(2)　実数$x\text{，}$$y$に対して$x=-{\displaystyle \frac{1}{3}}y+{\displaystyle \frac{3}{4}}$であるとき，$2^y+8^x$の最小値は$\text{(イ)}\text{．}$

【３】　次の$$の中を適当に補って，それを答案用紙に書け．証明や説明は必要としない．

(3)　$x_0={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}$が方程式$x^4-4x^2+1=0$の解であることを利用して，$f(x)=x^6-3x^4+x^2$のとき，$f(x_0)$の値を求めると$f(x_0)=\text{(ウ)}\text{．}$

【４】　$a_n=(3n+1)4^{n-1}$のとき次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_{k+1}-4a_k)$を求めよ．

(2)　$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k$を求めよ．

(3)　${\log }_2{S}_{16}$を求めよ．

【５】　$n$を正の整数とする．$I_n={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^2)}^{\frac{n}{2}}\mathit{dx}$のとき次の問いに答えよ．

(1)　$I_{n+2}={\displaystyle \frac{n+2}{n+3}}{I}_n$を示せ．

(2)　(1)を用いて$I_5$を求めよ．