2008　帯広畜産大学　前期総合問題

2008-10009-0101

2008　帯広畜産大学　前期総合問題

易□　並□　難□

【１】　 $n = 1 ，$ $2 ，$ $3 ， \dots ．$ に対して，数列 ${a_{n}}$ は初項 $c ，$ 公差 $d$ の等差数列で，数列 ${b_{n}}$ は初項 $t ，$ 公比 $r$ の等比数列である．数列 ${p_{n}}$ と ${a_{n}}$ は(1)式のように数列 ${a_{n}}$ と ${b_{n}}$ によって定義され，さらに数列 ${g_{n}}$ と ${h_{n}}$ は(2)式のように数列 ${p_{n}}$ と ${q_{n}}$ によって定義されている．

$(\begin{matrix} \frac{1}{2 d} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} p_{n} \\ q_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ (1)

$(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} g_{n} \\ h_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} p_{n} \\ q_{n} \end{matrix})$ (2)

ただし， $a_{n} ，$ $b_{n} ，$ $g_{n} ，$ $h_{n} ，$ $p_{n} ，$ $q_{n}$ はそれぞれ数列 ${a_{n}} ，$ ${b_{n}} ，$ ${g_{n}} ，$ ${h_{n}} ，$ ${p_{n}} ，$ ${q_{n}}$ の一般項を表す．また， $d \neq 0 ，$ $t > 0 ，$ $r > 0$ とする．

問１　 $c ，$ $d ，$ $n$ を用いて $a_{n}$ と数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{a} (n)$ を表しなさい．また， $t ，$ $r ，$ $n$ を用いて $b_{n}$ と数列 ${b_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{b} (n)$ を表しなさい．

問２　 $n > 1 ，$ $α = \log_{10} t ，$ $β = \log_{10} r$ とするとき， $α ，$ $n ，$ $b_{n}$ を用いて $β$ を表しなさい．

問３　 $2$ 次正方行列 $A$ を用いてベクトル $(\begin{matrix} g_{n} \\ h_{n} \end{matrix})$ と $(\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ との関係を

$A (\begin{matrix} g_{n} \\ h_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ (3)

で表すとき，行列 $A$ を求めなさい．

問４　数列 ${p_{n}}$ が等差数列であることを示し， $c$ と $d$ を用いてその初項と公差を表しなさい．また，数列 ${q_{n}}$ が等比数列であることを示し， $t$ と $r$ を用いてその初項と公比を表しなさい．

問５　 $d > 0 ，$ $n > 1 ，$ $g_{n} > h_{n}$ とするとき， $c ，$ $n ，$ $λ = \frac{g_{n} - h_{n}}{2}$ を用いて $d$ を表しなさい．

問６　数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $100$ 項までの各項 $a_{1} ，$ $a_{2} ， \dots ，$ $a_{100}$ の中から任意に $1$ つを選ぶ試行において，選ばれた数が $50$ より大きく， $100$ より小さい事象を $E$ とし，選ばれた数が $80$ より小さい事象を $F$ とする．ここで， $c = 4 ，$ $d = 3$ とするとき， $E$ の確率 $P (E) ，$ $F$ の確率 $P (F)$ および $E$ と $F$ の和事象の確率 $P (E \cup F)$ を求めなさい．

2008-10009-0102

2008　帯広畜産大学　前期総合問題

易□　並□　難□

【２】　頂点が $(2, 1)$ で，点 $(0, 5)$ を通る $2$ 次関数 $f (x)$ があり， $g (x) = - x f (x) - 4 x^{2} + 8 x - 2$ とする．

問１　関数 $f (x)$ を求めなさい．

問２　 $y = g (x)$ の増減表を作って，そのグラフを書きなさい．

問３　曲線 $y = g (x)$ の $x = t$ における接線の方程式を求めなさい．

問４　曲線 $y = g^{'} (x)$ と $x$ 軸とで囲まれた部分で，一辺が $x$ 軸と平行でかつ $2$ つの頂点が曲線 $y = g^{'} (x)$ 上にある長方形を作るとき，面積が最大となる長方形の $4$ つの頂点の座標とその面積を求めなさい．

問５　点 $(x, y)$ から曲線 $y = g (x)$ に異なる $3$ 本の接線が引けるとき，点 $(x, y)$ の存在する範囲を不等式で表し，またその範囲を図示しなさい．

2008 帯広畜産大学 前期総合問題

2008　帯広畜産大学　前期総合問題