2008　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　空間の$4$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(2,3,1)\text{，}\mathrm{C}(3,1,2)\text{，}\mathrm{D}(1,1,1)$に対し，$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線を$l\text{，}2$点$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線を$m$とする．次の問いに答えよ．

問１　$l\text{，}m$のベクトル方程式を求めよ．

問２　$l$と$m$は交わらないことを示せ．

問３　$l$と$m$のどちらにも直交する直線を$n$とするとき，$l$と$n$の交点$\mathrm{E}$の座標および$m$と$n$の交点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．

【２】　$n$は$2$以上の自然数とする．$x^n$を$(x-1)(x-2)$で割った商を$g(x)\text{，}$余りを$r(x)$とする．次の問いに答えよ．

問１　$r(x)$を求めよ．

問２　$(x^{n-1}-2^{n-1})+(x^{n-2}-2^{n-2})+\cdots +(x-2)=(x-2)g(x)$が成り立つことを示せ．

問３　$x^m-2^m=(x-2)(x^{m-1}+2x^{m-2}+\cdots +2^{m-2}x+2^{m-1})\text{（}m$は自然数）であることを用いて，$g(x)$の$x^{n-k}\text{（}k=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{，}n$）の係数を求めよ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x}{\log x}}\text{（}x>1$）について，次の問いに答えよ．

問１　$y=f(x)$の増減，グラフの凹凸を調べ，グラフの概形を描け．

問２　$x$軸上の点$\mathrm{P}(a,0)$を通り曲線$y=f(x)$に接する直線が，$2$本引けるように，$a$の値の範囲を定めよ．

【４】　座標平面上に$t$を媒介変数として

$x=\cos t+\cos 2t\text{，}y=\sin t+\sin 2t\text{（}0\leqq t\leqq \pi$）

で表される曲線$C$がある．次の問いに答えよ．

問１　$x(t)=\cos t+\cos 2t\text{，}y(t)=\sin t+\sin 2t\text{（}0<t<\pi$）とおく．$x(t)$は$t=a$で極値をとり，$y(t)$は$t=b\text{，}t=c\text{（}b<c$）で極値をとるとき，

(1)　$x(a)$および$y(a)$の値を求めよ．

(2)　$4$つの値${\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}a\text{，}b\text{，}c$の大小を調べよ．

問２　不定積分${\displaystyle \int }y(t)x^{\prime }(t)dt$を求めよ．

問３　曲線$C$と$y$軸とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．