2008　弘前大学　前期MathJax

【１】　曲線$C_1\text{：}y=x^2-1$と曲線$C_2\text{：}y=a{(x+1)}^2$について，次の問いに答えよ．ただし，$a$は負の実数とする．

(1)　曲線$C_1$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S_1$とする．$S_1$の値を求めよ．

(2)　曲線$C_1$と曲線$C_2$の交点を求めよ．

(3)　曲線$C_1$と曲線$C_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}{S}_1$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　${(1+x)}^n$を展開したとき，次数が奇数である項の係数の和を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$の$3$人がじゃんけんを$1$回する．$1$人だけ勝ったとき勝った人にポイント$3$が与えられ，$2$人が勝ったとき勝った人それぞれにポイント$2$が与えられる．負けた人はポイント$0$とする．あいこのときは$3$人ともポイント$1$が与えられる．$\mathrm{A}$が得るポイントの期待値を求めよ．

【３】　座標平面上に原点$\mathrm{O}\text{，}$定点$\mathrm{A}$$(0,1)\text{，}$動点$\mathrm{P}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が条件$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})=0$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$はどのような図形をえがくか．

(2)　$\mathrm{P}$が条件$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}|$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$はどのような図形をえがくか．

(3)　$\mathrm{P}$が条件$\sqrt{2}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=\left|\overrightarrow{p}\right|$を満たしながら動くとき，$\mathrm{P}$はどのような図形をえがくか．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=\log (2x+1)-x^2+1$$(x>-{\displaystyle \frac{1}{2}})$の最大値を求めよ．ただし，対数は自然対数である．

【４】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^2{(x-1)}^2{e}^{2x}\mathit{dx}$を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【５】　座標平面上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(1,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(2,0)$がある．点$\mathrm{C}$は，$\mathrm{A}$を中心とする半径$1$の円の上にあり，その$y$座標は正であるとする．$C$から線分$\mathrm{OB}$に下ろした垂線と$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{D}$から線分$\mathrm{OC}$に下ろした垂線と$\mathrm{OC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{\angle CAB}=\theta$$\text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(2)　線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とする．$r$を$\theta$を用いて表し，定積分${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{2\pi }{3}}}r\mathit{d\theta }$を求めよ．

【６】　$n$を正の整数とする．$3$次方程式

$x^3+3n{x}^2-(3n+2)=0$

について次の問いに答えよ．

(1)　すべての正の整数$n$について，上の$3$次方程式は正の解をただ$1$つしかもたないことを証明せよ．

(2)　各正の整数$n$に対して，上の$3$次方程式の正の解を$a_n$とする．極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【７】　$f(x)=|x^2-3x|-1$とする．曲線$y=f(x)$を$C$とし，$C$上の点$(a,f(a))$における接線を$l$とする．ただし，$0<a<3$とする．

　$C$と$l$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$のとり得る値の範囲を求めよ．

【８】　$A=\left(\begin{array}{cc}24& -66\\ 9& -25\end{array}\right)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$P=\left(\begin{array}{cc}3& -5\\ -1& 3\end{array}\right)$のとき，$PA=BP$を満たす行列$B$を求めよ．

(2)　$B$は(1)で求めた行列とする．正の整数$n$に対して，$B^n$を求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して，$A^n$を求めよ．

【９】　円$x^2+y^2=1$の$y>0$の部分を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{R}$$(-1,0)$を結ぶ直線$\mathrm{PR}$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，その座標を$(0,t)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標を$(\cos \theta ,\sin \theta )$とする．$\cos \theta$と$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{S}$の座標を$\mathrm{A}$$(-3,0)\text{，}$$\mathrm{B}$$(3,0)\text{，}$$\mathrm{S}$$(0,{\displaystyle \frac{1}{t}})$とし，$2$直線$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BS}$の交点を$\mathrm{T}$とする．

　点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{T}$の描く図形を求めよ．

【10】　放物線$y=x^2$を$C$とする．$C$上に$3$点$\mathrm{O}$$(0,0)\text{，}$$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)$があり，$\mathrm{\angle AOB}$は直角であるとする．

　点$\mathrm{A}$における$C$の接線と点$\mathrm{B}$における$C$の接線の交点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$S\text{，}$三角形$\mathrm{PAB}$の面積を$T$としたとき，${\displaystyle \frac{S}{T}}$のとり得る値の範囲を求めよ．