2008　岩手大学　前期MathJax

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　整式$P(x)=64x^3+ax+b$が$4x-1$で割り切れ，$x+2$で割ると余りが$-81$となるように，定数$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

(2)　(1)で求めた$a\text{，}$$b$と$P(x)$に対して，$P(x)=0$の解を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(3)　${\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta ={\displaystyle \frac{47}{128}}$のとき，$\sin \theta +\cos \theta$の値を求めよ．

【２】　　図のように，直角二等辺三角形の網目に分割されている平面において，交点の中から$4$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$をとる．ただし，点$\mathrm{O}$の座標を$(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}$の座標を$(1,-1)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$の値を求めよ．

(2)　点$\mathrm{A}$から線分$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の交点を$\mathrm{H}$とする．このとき，点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{▵ABH}$の重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．

【３】　図のように，円$y=\pm \sqrt{6x-x^2-5}$と，その円に内接する六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．ただし，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{D}$は$x$軸上にあるものとし，円の中心を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{\angle APB}$$=\mathrm{\angle CPD}$$=\mathrm{\angle DPE}$$=\mathrm{\angle FPA}=\theta$$(0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$のとき，次の問いに答えよ．

(1)　円の中心$\mathrm{P}$の座標および半径を求めよ．

(2)　六角形$\mathrm{ABCDEF}$の面積$S(\theta )$を，$\theta$を用いて表せ．

(3)　$S(\theta )$の増減表をつくり，$S(\theta )$が最大となる$\theta$の値を求めよ．また，$S(\theta )$の最大値を求めよ．

【４】　放物線$C_1\text{：}y=x^2+a$と円$C_2\text{：}{x}^2+y^2=1$を考える．ただし，$a$は実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$の$x=X_1$における接線の傾き$m_1$を$X_1$を用いて表せ．また，$C_2$上の点$(X_2,Y_2)$における接線の傾き$m_2$を$X_2$と$Y_2$を用いて表せ．ただし，$Y_2\ne 0$とする．

(2)　$C_1$と$C_2$が図のように，$2$点${\mathrm{P}}_1\text{，}$${\mathrm{P}}_2$で接している．ただし，$C_1$と$C_2$が点$(X,Y)$で接するとは，点$(X,Y)$における$C_1$と$C_2$の接線が一致することをいう．このとき，${\mathrm{P}}_1$と${\mathrm{P}}_2$の座標を求めよ．また，$a$の値を求めよ．

(3)　(2)の条件のもとで，$C_1$と$C_2$で囲まれた，図の斜線部分の面積を求めよ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-3& -6\\ 14& 15\end{array}\right)\text{，}$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$に対して，$3X+Y=A\text{，}$$X+Y=E$を満たす$2$次の正方行列$X\text{，}$$Y$を考える．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X\text{，}$$Y$を求めよ．

(2)　${(X+2Y)}^2\text{，}$${(X+2Y)}^3$を求めよ．

(3)　$n$を自然数とするとき，${(X+2Y)}^n$を求めよ．

【１】　$a$を実数とし，関数$f(x)=x^2-2ax+(2a+1)(a-1)$の最小値を$m$とする．方程式$f(x)=0$が異なる$2$つの実数解$\alpha \text{，}$$\beta$$\text{（}\alpha <\beta \text{）}$をもつとき，次の問いに答えよ．

(1)　$m$を$a$で表せ．

(2)　$\alpha \text{，}$$\beta$が$\alpha <1<\beta$を満たすとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．

(3)　$a$が(2)で求めた範囲を動くとき，$m$のとりうる値の範囲を求めよ．

【２】　図のように，中心が${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$である$2$つの円が$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっている．直線$m$を$2$つの円の共通接線，接点を$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とし，直線$\mathrm{AB}$と直線$m$の交点を$\mathrm{M}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{CD}$の中点であることを示せ．

(2)　$\mathrm{\angle CMA}$が直角であるとき，$2$つの円の半径は等しいことを示せ．

【３ア】　ある等差数列の第$n$項を$a_n$とするとき，

$a_{10}+a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}=365\text{，}$$a_{15}+a_{17}+a_{19}=-6$

が成立している．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　この等差数列の初項と公差を求めよ．

(2)　この等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$S_n$の最大値を求めよ．

【３イ】　座標空間内に，$3$点$\mathrm{A}$$(1,2,3)\text{，}$$\mathrm{B}$$(7,-1,9)$および$\mathrm{P}$$(4t-6,t+1,t+5)$がある．ただし，$t$は実数である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{PH}\perp \mathrm{AB}$となるように，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{H}$をとる．点$\mathrm{H}$の座標を$t$で表せ．

(2)　$\mathrm{▵PAB}$の面積が最小となるような$t$の値を求めよ．

【４】　曲線$y=f(x)$は$2$点$(0,0)\text{，}$$(3,0)$を通っている．曲線$y=f(x)$上の各点$(x,y)$における接線の傾きが$3x^2-12x+a$で表されるとき，次の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)　定数$a$の値と関数$f(x)$を求めよ．

(2)　$b$を実数とするとき，方程式$f(x)=b$の相異なる実数解の個数を求めよ．

(3)　$x$軸と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【５】　ある微生物は一定時間ごとに$1$回分裂して，個数が$2$倍に増えていく．この微生物$1$個を観察ケースに入れた．この微生物が観察途中で死ぬことなく増えていくとき，次の問いに答えよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010$とする．

(1)　この微生物が$12$回分裂したときの，観察ケース内の微生物の個数を求めよ．

(2)　観察ケース内の微生物が初めて$100$万個以上になるのは，何回分裂したときか．

(3)　観察開始から$6$回の分裂を経るたびに，瞬時に微生物の個数を数えた後で，観察ケース内の微生物の半数を取り除くものとする．このとき，観察ケース内の微生物が初めて$100$万個以上になるのは，何回分裂した直後か．

【１】　数列$\{a_n\}$を初項$1\text{，}$公差${\displaystyle \frac{1}{2}}$の等差数列とするとき，数列$\{b_n\}$を

$b_n=2^{a_n}$

で定義する．以下の問いに答えよ．

(1)　$b_n\geqq 2^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(2)　$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの積を$P_n$で表す．すなわち

$P_n=b_1\times b_2\times b_3\times \cdots \times b_n$

である．このとき$P_n\geqq 2^{100}$となる最小の自然数$n$を求めよ．

(3)　$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$で表す．すなわち

$S_n=b_1+b_2+b_3+\cdots +b_n$

である．このとき$S_n\geqq 2^{100}{S}_2$となる最小の自然数$n$を求めよ．

【２】　$a$を実数とし，方程式${(x-a)}^2+{(y+a^2-3)}^2=1$で定義される円$C(a)$を考える．以下の問いに答えよ．

(1)　$a$がすべての実数を動くとき，$C(a)$の中心の軌跡を求めよ．

(2)　$C(a)$のすべての点が$x$軸より上になるような$a$の範囲を求めよ．

(3)　$C(a)$が(2)の条件を満たし，かつ直線$4x-3y+12=0$に接するように$a$の値を定めよ．

【３】　$3$辺の長さがすべて自然数である直角三角形をピタゴラス三角形と呼ぶことにする．$p$を奇数の素数として，斜辺でない$2$辺のうちの一方の長さが$2p$であるようなピタゴラス三角形を求めたい．斜辺の長さを$a$とし，残りの辺の長さを$b$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)　この三角形の$3$辺について，三平方の定理から得られる等式をかけ．

(2)　$a+b$と$a-b$は共に偶数になることを示せ．

(3)　$a$と$b$をそれぞれ$p$を用いて表せ．

【４】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の関係式を満たす関数$f(x)$を求めよ．

$f(x)=2x^2-{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}$

(2)　次の関係式を満たす関数$f(x)\text{，}$$g(x)$を求めよ．

$\{\begin{array}{l}f(x)=x^2+{\displaystyle {\int }_0^1}g(t)\mathit{dt}\\ g(x)=2x^2-{\displaystyle {\int }_0^1}f(t)\mathit{dt}\end{array}$

(3)　$f(x)\text{，}$$g(x)$を(2)で求めた関数とする．$2$曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$の両方に接する直線の方程式を求めよ．

【４キ】　関数$f(x)=e^x+4e^{-2x}$について，次の問いに答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=2\log 2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の最小値を求めよ．