2008　秋田大学　前期

【１】　次の問いに答えよ．

(ⅰ)　${(x+2y)}^4$の展開式を求めよ．

(ⅱ)　${(x+2y+z)}^7$の展開式における，$x^2{y}^2{z}^3$の係数を求めよ．

(ⅲ)　$a$を実数とする．${(1+ax)}^5{(x-{\displaystyle \frac{2}{x}})}^4$の展開式における，$x^4$の係数が$41$となるような$a$の値を求めよ．

【２】　$f(x)=\cos x+2\sin x$とおく．ただし，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$t=\cos x$とおく．$\cos 4x$を$t$で表せ．

(ⅱ)　関数$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅲ)　$y=f(x)$が最大になるときの$x$の値を$\theta$とするとき，$\sin 2\theta -\cos 4\theta$の値を求めよ．

【３】　定数$a>0\text{，}$$r>0$に対し，

$f(x)={(a^2-x^2)}^r\text{，}$$g(x)=-f(x)$

とおく．$xy$平面上，区間$-a\leqq x\leqq a$において曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$に囲まれる図形を$G$とする．また，実数$t$$\text{（}0<t<a\text{）}$に対し，$4$点$(t,f(t))\text{，}$$(t,g(t))\text{，}$$(-t,f(-t))\text{，}$$(-t,g(-t))$を頂点とする四角形を$H$とする．さらに，図形$G$から四角形$H$の部分を除いた領域を$I$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$r=1$のとき，$I$の面積を$a\text{，}$$t$で表せ．

(ⅱ)　$t$を$0<t<a$で変化させる．$H$の面積が最大になるときの$t$を$a\text{，}$$r$で表せ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求められた$t$の値が，さらに$a^2=2t^2$を満たすとき，$I$の面積を$a$で表せ．

【１】　整数$m$に対し，$f(x)=x^2-mx+{\displaystyle \frac{m}{4}}-1$とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　方程式$f(x)=0$が，整数の解を少なくとも$1$つもつような$m$の値を求めよ．

(ⅱ)　不等式$f(x)\leqq 0$を満たす整数$x$が，ちょうど$4$個あるような$m$の値を求めよ．

【２】　$xyz$空間に点$\mathrm{C}$$(0,2,2)$を中心とする球面$x^2+{(y-2)}^2+{(z-2)}^2=1$と点$\mathrm{A}$$(0,0,3)$がある．球面上の点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{A}$とを通る直線が$xy$平面と交わるとき，その交点を$\mathrm{Q}$$(a,b,0)$とする．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　点$\mathrm{C}$を通る直線が直線$\mathrm{AQ}$と垂直に交わるとき，その交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=k\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を満たす実数$k$を$a\text{，}$$b$で表せ．

(ⅱ)　(ⅰ)で定めた$\mathrm{H}$について，線分$\mathrm{CH}$の長さを$a\text{，}$$b$で表せ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}$が球面上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の存在範囲を式で表し，$xy$平面上に図示せよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$$2$人が，次のようなゲームをする．

　$1$枚の硬貨を$1$回投げるごとに，表が出ると$\mathrm{A}$が$1$点得点し，裏が出ると$\mathrm{B}$が$1$点得点する．どちらか一方の得点が$4$点になったときに硬貨投げを止め，$4$点得点した方を勝者とし，もう一方を敗者とする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\mathrm{A}$の得点が$1$点かつ$\mathrm{B}$の得点が$2$点という状況を経て，$\mathrm{A}$がこのゲームの勝者となる確率を求めよ．

(ⅱ)　$\mathrm{A}$の得点が$\mathrm{B}$の得点より多いか，または同点であるという状態を，ゲームの始めから終わりまで保ちながら，$\mathrm{A}$がこのゲームの勝者となる確率を求めよ．

(ⅲ)　このゲームの勝者が決まるまでの，硬貨を投げる回数の期待値を求めよ．また，敗者の得点の期待値を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x^2+2x+2}}$について，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　$y=f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(ⅱ)　直線$l\text{：}y=-2x+a$が，曲線$C\text{：}y=f(x)$に接するような定数$a$の値を求めよ．また，$l$と$C$との接点の座標を求めよ．

(ⅲ)　$b$を(ⅱ)で求めた接点の$x$座標の値とするとき，次の積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_b^0}f(x)\mathit{dx}$

【２】　$n=1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}\cdots$とする．数列$\{a_n\}$は，

$a_1=1\text{，}$$a_{n+1}=2a_n+1$

を満たすとする．また，数列$\{b_n\}$は，

$b_2=5\text{，}$$4^{b_1-1}\cdot 4^{b_2-1}\cdot \cdots \cdot 4^{b_n-1}={(a_n+1)}^{b_n}$

を満たすとする．このとき，次の問いに答えよ．

(ⅰ)　数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(ⅱ)　$b_1$と$b_3$の値を求めよ．

(ⅲ)　数列$\{b_n\}$の第$n$項$b_n$を表す$n$の式を推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって証明せよ．

【３】　$a$を実数とし，

$f(x)=-x^2+4x-3$

$g(x)=x^2-2ax+a^2-3a-1$

とおく．次の問いに答えよ．

(ⅰ)　放物線$y=g(x)$の頂点$\mathrm{P}$の座標を$a$で表せ．さらに，$a$の値が変化するとき，$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．

(ⅱ)　$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフの共有点が$1$個のみであるような$a$の値は$2$つある．この$2$つの値を求めよ．

(ⅲ)　(ⅱ)で求めた$a$の$2$つの値によって定まる$g(x)$をそれぞれ$g_1(x)$と$g_2(x)$とする．$3$つの曲線$y=f(x)\text{，}$$y=g_1(x)\text{，}$$y=g_2(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．