2008　福島大学　前期

【１】　円$C\text{：}{x}^2+y^2=4$の円周上を動く点$\mathrm{P}$$(x_0,y_0)$がある．点$\mathrm{P}$における接線が，$x$軸および$y$軸と交わるとき，その交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．このとき．次の問いに答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$$(x_0,y_0)$における円$C$の接線の方程式を求めなさい．ただし，$x_0\ne 0\text{，}$$y_0\ne 0$とする．

(2)　線分$\mathrm{QR}$の中点$\mathrm{M}$の座標$(X,Y)$を，$x_0\text{，}$$y_0$を用いて表しなさい．

　また，点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上を動くとき，点$\mathrm{M}$の軌跡を表す方程式を求めなさい．

(3)　$0<x_0<2\text{，}$$0<y_0<2$とする．このとき，${\displaystyle \frac{\mathit{dY}}{\mathit{dX}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{d^{2}Y}{{\mathit{dX}}^2}}$を求めなさい．また，点$\mathrm{M}$の軌跡を表すグラフを描きなさい．

【２】　$x$の関数$f(x)$を$f(x)=x{e}^{-x}$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^x}f(t)\mathit{dt}$を求めなさい．

(2)　数列の和$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}f(k)$を求めなさい．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$を求めなさい．ただし，必要ならば$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{e^n}}=0\text{，}$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{n}{e^n}}=0$を用いなさい．

【３】　$x$の関数$g(x)$を

$g(x)=a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$$\text{（}a\ne 0\text{，}b\ne 0\text{，}c\ne 0\text{）}$

とする．また，$g(x)$の最大値を$p\text{，}$最小値を$q$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　$g(x)=A\sin 2x+B\cos 2x+C$と書き直すとき，$A\text{，}$$B\text{，}$$C$を$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(2)　$p$と$q$を，$a\text{，}$$b\text{，}$$c$を用いて表しなさい．

(3)　$a=2\text{，}$$b=2\text{，}$$c=1$であるとき，

$r={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|g(x)-{\displaystyle \frac{p+q}{2}}|\mathit{dx}$

の値を求めなさい．