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2008-10141-0101
2008 福島大学 前期
理工学群
易□ 並□ 難□
【1】 円 C :x2 +y2 =4 の円周上を動く点 P (x0 ,y0 ) がある.点 P における接線が, x 軸および y 軸と交わるとき,その交点をそれぞれ Q , R とする.このとき.次の問いに答えなさい.
(1) 点 P (x 0,y 0) における円 C の接線の方程式を求めなさい.ただし, x0 ≠0 , y0 ≠0 とする.
(2) 線分 QR の中点 M の座標 (X, Y) を, x0 , y0 を用いて表しなさい.
また,点 P が円 C の円周上を動くとき,点 M の軌跡を表す方程式を求めなさい.
(3) 0<x 0<2 , 0<y 0<2 とする.このとき, dY dX , d 2Y dX2 を求めなさい.また,点 M の軌跡を表すグラフを描きなさい.
2008-10141-0102
【2】 x の関数 f ⁡(x ) を f ⁡(x )=x ⁢e- x とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) ∫ 0xf ⁡(t )⁢ dt を求めなさい.
(2) 数列の和 S n= ∑k= 1n f⁡( k) を求めなさい.
(3) limn →∞ Sn を求めなさい.ただし,必要ならば limn→ ∞ 1en =0 , limn →∞ n en =0 を用いなさい.
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【3】 x の関数 g ⁡(x ) を
g⁡( x)= a⁢sin2 ⁡x+ b⁢sin⁡ x⁢cos⁡ x+c⁢ cos2⁡ x ( a≠0 , b≠0 , c≠0 )
とする.また, g⁡( x) の最大値を p , 最小値を q とする.このとき,次の問いに答えなさい.
(1) g⁡( x)= A⁢sin⁡ 2⁢x+ B⁢cos⁡ 2⁢x+ C と書き直すとき, A , B , C を a , b , c を用いて表しなさい.
(2) p と q を, a , b , c を用いて表しなさい.
(3) a=2 , b=2 , c=1 であるとき,
r= ∫0π | g⁡( x)− p +q2 | ⁢dx
の値を求めなさい.