2008　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文MathJax

2008-10161-0301

2008　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

数学・情報数理，物理学コース

易□　並□　難□

【１】　次の各小問に答えよ．

(1)　角 $x$ 度をラジアンを用いて表せ．さらに，角 $x$ 度の余弦 $（ \cos ）$ を $f (x)$ で表すとき導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ．

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2008　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

数学・情報数理，物理学コース

易□　並□　難□

【１】　次の各小問に答えよ．

(2)　自然数 $n$ に対して定積分

$a_{n} = \int_{1}^{e} x^{2 n} \log x dx$

を求めよ．さらに， $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ を求めよ．

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2008　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

数学・情報数理，物理学コース

易□　並□　難□

【１】次の各小問に答えよ．

(3)　曲線 $y = | x^{3} - 12 x |$ $（ x ≧ 0 ）$ と直線 $y = 16$ の囲む部分の面積を求めよ．

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2008　茨城大学　推薦理(理学科)学部小論文

数学・情報数理，物理学コース

物理との選択

易□　並□　難□

【２】　関数 $y = f (x) = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{x (x - 3)}$ とそのグラフ $C$ について，次の各問に答えよ．

(1)　関数 $f (x)$ の増減と極値を調べよ．

(2)　 $C$ の漸近線も調べ， $C$ の概形をかけ．ただし，必要なら $\lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ となることを証明なしで用いてよい．

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数学・情報数理，物理学コース

物理との選択

易□　並□　難□

【３】　行列 $A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ \sqrt{2} & 1 \end{matrix}) ，$ $B = (\begin{matrix} 1 & \sqrt{2} \\ 0 & 1 \end{matrix})$ に対して，逆行列をもつ行列 $C_{n}$ $（ n ≧ 1 ）$ が以下のように定義できる：

$C_{1} = A B A^{- 1} B^{- 1} ，$ $C_{n + 1} = C_{n} B C_{n}^{- 1} B^{- 1}$ $（ n ≧ 1 ）$

行列 $C_{n}$ について，次の各問に答えよ．

(1)　 $C_{1} ，$ $C_{2}$ を求めよ．

(2)　 $C_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \sqrt{2} \\ c_{n} \sqrt{2} & d_{n} \end{matrix})$ とおく． $a_{n} d_{n} - 2 b_{n} c_{n} = 1$ のとき， $a_{n + 1} ，$ $b_{n + 1} ，$ $c_{n + 1} ，$ $d_{n + 1}$ のそれぞれを $a_{n} ，$ $c_{n}$ を用いて表せ．

(3)　(1)，(2)の結果と数学的帰納法を用いて，すべての $n$ で

$a_{n} d_{n} - 2 b_{n} c_{n} = 1$

が成り立つことを証明せよ．