2008　筑波大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q$を正の実数とする．$x$の方程式

${\log }_{10}(px)\cdot {\log }_{10}(qx)+1=0$

が$1$より大きい解をもつとき，点$({\log }_{10}p,{\log }_{10}q)$の存在する範囲を座標平面上に図示せよ．

【２】　$xyz$空間内の点$\mathrm{P}(1,0,1)$と，$xy$平面上の円$C:x^2+{(y-2)}^2=1$に属する点$\mathrm{Q}(\cos \theta ,2+\sin \theta ,0)$を考える．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$と平面$z=t$の交点の座標を$(\alpha ,\beta ,t)$とするとき，${\alpha }^2+{\beta }^2$を$t$と$\theta$で表せ．

(2)　線分$\mathrm{PQ}$を$z$軸のまわりに$1$回転させてできる曲面と平面$z=0\text{，}z=1$によって囲まれる立体の体積を$\theta$で表せ．

(3)　$\mathrm{Q}$が$C$上を一周するとき，(2)で求めた体積の最大値，最小値を求めよ．

【３】　$e$は自然対数の底とする．$t>e$において関数$f(t)\text{，}g(t)$を次のように定める．

$f(t)={\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{t^2\log x}{t-x}}dx\text{，}g(t)={\displaystyle {\int }_1^e}{\displaystyle \frac{x^2\log x}{t-x}}dx$

(1)　$f(t)-g(t)$を$t$の$1$次式で表せ．

(2)　$1\leqq x\leqq e$かつ$t>e$のとき${\displaystyle \frac{1}{t-x}\leqq \frac{1}{t-e}}$が成り立つことを用いて，$\underset{t\to \infty }{\lim }g(t)=0$を示せ．

(3)　$\underset{t\to \infty }{\lim }(f(t)-{\displaystyle \frac{b{t}^2}{t-a}})=0$となる定数$a\text{，}b$を求めよ．

【４】　二つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次の漸化式によって定める．

• $a_1=3\text{，}{b}_1=1$
• $a_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(3a_n+5b_n)$
• $b_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_n+3b_n)$

(1)　すべての自然数$n$について，${a_n}^2-5{b_n}^2=4$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$について，$a_n\text{，}{b}_n$は自然数かつ$a_n+b_n$は偶数であることを証明せよ．

【５】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& \mathrm{-2}\\ \mathrm{-2}& 1\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．

(1)　$P=\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ a& 1\end{array}\right)\text{，}D=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right)$とする．$AP=PD$が成り立つとき，$a\text{，}x\text{，}y$を求めよ．ただし$a>0$とする．

(2)　${(A+tE)}^n=4E$が成り立つような実数$t$と自然数$n$の組をすべて求めよ．ただし$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

【６】　放物線$C:y=x^2$上の異なる$2$点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{，}\mathrm{Q}(s,s^2)\text{（}s<t$）における接線の交点を$\mathrm{R}(X,Y)$とする．

(1)　$X\text{，}Y$を$t\text{，}s$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が$\angle \mathrm{PRQ}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を満たしながら$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$は双曲線上を動くことを示し，かつ，その双曲線の方程式を求めよ．

志望別問題選択一覧

社会・国際学群

　社会学類　【１】，【４】必須

社会・国際学群

　国際総合学類　数学II・B選択者　【１】，【４】必須

　国際総合学類　数学III・C選択者　【２】か【３】から１題，【５】か【６】から1題選択

人間学群

　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　数学III選択者　【２】，【３】必須

　数学C選択者　【５】，【６】必須

生命環境学群

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択

　地球学類　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

理工学群

　数学類，物理学類，化学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　応用理工学類，工学システム学類

　　　【２】，【３】必須，【１】と【４】〜【６】から２題選択

　社会工学類

　　　【２】，【３】必須，【１】か【４】から1題，【５】か【６】から1題選択

情報学群

　情報科学類，情報メディア創成学類

　　　【２】，【３】，【５】，【６】必須，【１】か【４】から1題選択

　知識情報・図書館学類

　　数学II・数学B選択者　【１】，【４】必須

　　数学II・数学C選択者　【１】必須，【５】，【６】から1題選択

　　数学III・数学B選択者　【４】必須，【２】，【３】から1題選択

　　数学III・数学C選択者　【２】か【３】から1題，【５】か【６】から1題選択

医学群（医学類・医療科学類）　【１】〜【３】必須，【４】〜【６】から２題選択