2008　筑波大学　推薦理工学群数学類MathJax

2008-10162-0801

2008　筑波大学　推薦理工学群数学類

易□　並□　難□

【１】　空間内に $4$ 点 $A ， B ， C ， O$ がある． $3$ 点 $A ， B ， C$ は同一直線上にないと仮定する． $\vec{a} = \vec{OA} ， \vec{b} = \vec{OB} ， \vec{c} = \vec{OC}$ とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点 $P$ が線分 $AB$ 上にあるとき

$\vec{OP} = t_{1} \vec{a} + t_{2} \vec{b}$

と表せることを示せ．ただし， $t_{1} ， t_{2}$ は $t_{1} + t_{2} = 1 ， t_{i} ≧ 0 （ i = 1 ， 2 ）$ を満たす実数である．

(2)　点 $P$ が $3$ 点 $A ， B ， C$ を含む平面の上にあるとき

$\vec{OP} = t_{1} \vec{a} + t_{2} \vec{b} + t_{3} \vec{c}$

と表せることを示せ．ただし， $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ は $t_{1} + t_{2} + t_{3} = 1$ を満たす実数である．

(3)　点 $D$ が $3$ 角形 $ABC$ の内部にあるとき

$\vec{OP} = t_{1} \vec{a} + t_{2} \vec{b} + t_{3} \vec{c}$

と表せることを示せ．ただし， $t_{1} ， t_{2} ， t_{3}$ は $t_{1} + t_{2} + t_{3} = 1 ， t_{i} > 0 （ i = 1 ， 2 ， 3 ）$ を満たす実数である．

(4)　空間内に点 $D$ をとり， $4$ 点 $A ， B ， C ， D$ は同一平面上にないと仮定する．このとき， $3$ 角錐 $ABCD$ の内部にある点 $P$ は， $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c} ， \vec{d} （ = \vec{OD} ）$ を使ってどう表せるか予想せよ．

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易□　並□　難□

【２】(1)　円弧 $PQ$ 上に点 $R$ をとる． $P ， R ， Q$ をこの順に結ぶ折れ線の長さを最大にする点 $R$ の位置を求めよ．

(2)　円弧 $PQ$ 上に点 $R ， S$ を図のようにとる． $P ， R ， S ， Q$ をこの順に結ぶ折れ線の長さを最大にする点 $R ， S$ の位置を求めよ．

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易□　並□　難□

【３】　 $f_{n} (x) = e^{x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} （ n = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ）$ について，次の問いに答えよ．ただし， $0! = 1 ， x^{0} = 1$ とする．

(1)　 $f_{n} (x) = \int_{0}^{x} f_{n - 1} (y) d y （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$ を示せ．

(2)　 $0 ≦ f_{n} (x) ≦ \frac{(e - 1) x^{n}}{n!} （ 0 ≦ x ≦ 1 ， n = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ）$ を数学的帰納法を用いて証明せよ．

(3)　(2)を用いて， $e$ の値を小数点以下第 $3$ 位を四捨五入して求めよ．ただし， $2 < e < 3$ を既知とする．

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