2008　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　正弦に関する加法定理を用いて，

$\sin \alpha +\sin \beta =2{\displaystyle \sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}}$

が成り立つことを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の内角の大きさをそれぞれ$A\text{，}B\text{，}C$で表すことにする．$A={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，$\sin B+\sin C$および$\cos B+\cos C\text{，}$それぞれの範囲を求めよ．

【２】　病気$\mathrm{A}$を発見するための検査法がある．この検査法を用いると，病気$\mathrm{A}$にかかっている人の$98\%$が病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断される．また，病気$\mathrm{A}$はかかっていないが別の病気$\mathrm{B}$にかかっている人の$10\%$が病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断される．さらに，$\mathrm{A}$にも$\mathrm{B}$にもかかっていない人の$5\%$が病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断される．

　この検査法を実施するある集団において，病気$\mathrm{A}$にかかっている人，病気$\mathrm{B}$にかかっている人，どちらにもかかっていない人の割合は，それぞれ$1\%\text{，}3\%\text{，}96\%$である．

(1)　「どちらの病気にもかかっておらず，かつ，この検査法で病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断される人全体」の，「この検査法を実施する集団全体」に対する割合を求めよ．

(2)　「この検査法で病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断される人全体」の，「この検査法を実施する集団全体」に対する割合を求めよ．

(3)　「この検査法で病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断され，かつ，本当に病気$\mathrm{A}$にかかっている人全体」の，「この検査法で病気$\mathrm{A}$にかかっていると診断された人全体」に対する割合を求めよ．

【３】　直線$y=x$上に頂点があり，直線$y=4x$に接する放物線の頂点の$x$座標を$\alpha$とする．

(1)　$\alpha$の取り得る範囲を求めよ．

(2)　上記の放物線の方程式を$\alpha$を用いて表せ．

(3)　$\alpha$を上記の(1)の範囲で動かしたとき，上記の放物線上にある点の領域を求め，それを図示せよ．

【４】　次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)=x^2+ax$（ただし，$a$は実数）に対し，$a$を用いて${\displaystyle {\int }_0^1}|f(x)|dx$の値を表せ．

(2)　等式$f(x)=x^2-4x{\displaystyle {\int }_0^1}|f(t)|dt$をみたす関数$f(x)$をすべて求めよ．