2008　埼玉大学　前期(工学部)MathJax

【１】　以下の問いに答えよ．

(1)　次の関数を微分せよ．

$f(x)=e^{-x^2}\sin (x^2)$

【１】　以下の問いに答えよ．

(2)　次の定積分の値を求めよ．

${\displaystyle {\int }_2^{10}}{\displaystyle \frac{|5-x|}{\sqrt{x-1}}}dx$

【１】　以下の問いに答えよ．

(3)　$2$点$\mathrm{P}(1,\mathrm{-1})\text{，}\mathrm{Q}(3,1)$を，それぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }(1,\mathrm{-3})\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }(9,5)$に移動させる$2$次の正方行列$A$を求めよ．

【２】　$A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$とし，$B=E+A$とする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)　$A^2=5A$が成り立つことを示せ．

(2)　$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$に対し，$B^n=E+a_{n}A$となる実数$a_n$を求めよ．

【３】　座標平面上で連立方程式

$\{\begin{array}{l}x\geqq 0\\ y\geqq 0\\ x\leqq 6-2y\\ y\leqq 6-2x\end{array}$

の表す領域を$D$とする．

(1)　領域$D$を図示せよ．

(2)　領域$D$の点$(x,y)$に対して，$3x+4y$の最大値を求めよ．

(3)　領域$D$の点$(x,y)$に対して，$x^2+y^2+2x-2y$の最大値を求めよ．

【４】　座標平面上の二つの曲線$C_1\text{，}{C}_2$を

• $C_1:y=x^2+1$
• $C_2:y=-x^2-1$

と定める．点$\mathrm{P}(t,t^2+1)\text{（}t>0$）における$C_1$の接線を$l_1$とし，$l_1$と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　点$\mathrm{Q}$を通り，$l_1$と垂直な直線$l_2$の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた直線$l_2$が曲線$C_2$と接するときの$t$の値を求めよ．

【５】　$xy$平面において，媒介変数$t$で表される曲線

$C:\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{\cos t}{1+\sin t}}\\ y=\sin t\end{array}(0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}})$

は右図のようになる．

(1)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

(2)　曲線$C$と$x$軸および$y$軸で囲まれた部分を，$y$軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ．