2008　千葉大学　後期(医学科)MathJax

【３A】　半径$1$の円に内接する$2$等辺三角形で，内部にこの円の中心を含むものを考える．

(A1)　底辺$a_0=\sqrt{2}$のときの等辺$b_0$を求めよ．

(A2)　$a_0=\sqrt{2}$とし，以下$n=0\text{，}$$1\text{，}\cdots$に対し，底辺を$a_n$としたときの等辺を$a_{n+1}$と定める．これによって数列$\{a_n\}$を定義するとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$の存在を示し，その極限値を求めよ．

【３B】　$n$を自然数とし，$E$を単位行列とする．

(B1)　$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& c\end{array}\right)$に対し$X^n$を求めよ．

(B2)　$M^{2n}=E$となる行列$M$が無限個存在することを証明せよ．

(B3)　すべての成分が整数の行列$Y=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& 0\end{array}\right)$$\text{（}qr=-1\text{）}$がある．$Y^2=\left(\begin{array}{cc}{p}^{\prime }& q^{\prime }\\ r^{\prime }& s^{\prime }\end{array}\right)$として，複素数$\omega ={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}$に対して

${\displaystyle \frac{p^{\prime }\omega +q^{\prime }}{r^{\prime }\omega +s^{\prime }}}=\omega$

が成り立つ行列$Y$を求めよ．

(B4)　すべての成分が整数の行列$Z$で，$Z^3=E$となるものが無限個存在することを証明せよ．