2008　東京工業大学　前期

【１】　正の実数$a\text{，}b$に対し，$x>0$で定義された$2$つの関数$x^a$と$\log bx$のグラフが$1$点で接するとする．

(1)　接点の座標$(s,t)$を$a$を用いて表せ．また，$b$を$a$の関数として表せ．

(2)　$0<h<s$をみたす$h$に対し，直線$x=h$および$2$つの曲線$y=x^a\text{，}y=\log bx$で囲まれる領域の面積を$A(h)$とする．$\underset{h\to 0}{\lim }A(h)$を$a$で表せ．

【２】　実数$x$に対し，$x$以上の最小の整数を$f(x)$とする．$a\text{，}b$を正の実数とするとき，極限

$\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^c{\displaystyle (\frac{1}{f(ax-7)}-\frac{1}{f(bx+3)})}$

が収束するような実数$c$の最大値と，そのときの極限値を求めよ．

【３】　いびつなサイコロがあり，$1$から$6$までのそれぞれの目が出る確率が${\displaystyle \frac{1}{6}}$とは限らないとする．このサイコロを$2$回ふったとき同じ目がでる確率を$P$とし，$1$回目に奇数，$2$回目に偶数の目が出る確率を$Q$とする．

(1)　$P\geqq {\displaystyle \frac{1}{6}}$であることを示せ．また，等号が成立するための必要十分条件を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{4}\geqq Q\geqq \frac{1}{2}-\frac{3}{2}P}$であることを示せ．

【４】　平面の原点$\mathrm{O}$を端点とし，$x$軸となす角がそれぞれ$-\alpha \text{，}\alpha$（ただし$0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$）である半直線を$L_1\text{，}{L}_2$とする．$L_1$上に点$\mathrm{P}\text{，}{L}_2$上に点$\mathrm{Q}$を線分$\mathrm{PQ}$の長さが$1$となるようにとり，点$\mathrm{R}$を，直線$\mathrm{PQ}$に対し原点$\mathrm{O}$の反対側に$▵\mathrm{PQR}$が正三角形になるようにとる．

(1)　線分$\mathrm{PQ}$が$x$軸と直交するとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$1$に保ったまま$L_1\text{，}{L}_2$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡はある楕円の一部であることを示せ．