2008　東京工業大学　特別入学資格試験MathJax

【1-1】　$0<\alpha <\pi$とする．$xyz-$空間上の$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たすように配置してあるとする．

• (ⅰ)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は原点を中心とする$xy-$平面上の半径$1$の円周上にある．
• (ⅱ)　$\mathrm{C}$は$z-$軸の正の部分にある．
• (ⅲ)　$\angle \mathrm{ACB}=\alpha$

(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たす$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$と原点$\mathrm{O}$が作る$4$面体$\mathrm{OABC}$のうち体積が最大のものの体積を$V(\alpha )$とする．このとき極限値$\underset{\alpha \to 0}{\lim }\alpha V(\alpha )$を求めよ．

【1-2】　$n$を自然数，$P(x)$を$n$次多項式とする．$P(0)\text{，}P(1)\text{，}\cdots \text{，}P(x)$が整数ならば，すべての整数$k$に対し，$P(k)$は整数であることを証明せよ．

【2-1】　正$4$面体を，底面に平行な$(n-1)$枚の平面で高さを$n$等分するように切る．残りの面に関しても同様に切ると正$4$四面体は幾つの部分に分かれるか．個数を求めよ．

【2-2】　$p$を正数とし，$S$を$y^2=4px$と表示される放物線とする．点$\mathrm{P}=(a,b)$から$S$への法線が何本ひけるか，場合分けして述べよ．