2008　お茶の水女子大学　前期共通MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の整数とし${\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{a}{b}}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{a}{b}}$が成り立つことを示せ．

(2)　$x\text{，}y$を正の整数とし，$ad-bc=1$であり${\displaystyle \frac{c}{d}<\frac{y}{x}<\frac{a}{b}}$とする．このとき$ax-by$および$dy-cx$が正の整数であることを示し

$b+d\leqq x\text{，}a+c\leqq y$

が成り立つことを示せ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)(ⅰ)　$y=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$とおき，$x^3+{\displaystyle \frac{1}{x^3}}\text{，}{x}^4+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}$をそれぞれ$y$の多項式として表せ．

(ⅱ)　${\alpha }^6+{\alpha }^5-9{\alpha }^4-10{\alpha }^3-9{\alpha }^2+\alpha +1=0$をみたすすべての複素数$\alpha$を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(2)　$n$を自然数とし$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_n$を正の実数とする．このとき次の不等式が成り立つことを示せ．

$(a_1+a_2+\cdots +a_n){\displaystyle (\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots +\frac{1}{a_n})}\geqq n^2$

【３】　$C_1\text{，}{C}_2$をそれぞれ方程式$y=x^2\text{，}y=b{(x-a)}^2+3a$で表される曲線とし，$l$は$C_1$の接線でその傾きが$2$であるとする．ただし，$a\text{，}b$は実数で$b\ne 0$とする．このとき次の問いに答えよ．

(1)　$l$を表す方程式を求めよ．

(2)　$l$が$C_2$に接しているとき，$b$を$a$の式で表せ．

(3)　$l$が$C_2$に接し，$a=3$のとき，$l\text{，}{C}_1\text{，}{C}_2$の概形を描き，それらで囲まれる図形の面積を求めよ．

【３】　座標空間の点$\mathrm{P}(1,0,1)$を考える．点$\mathrm{Q}$が$yz$平面上の円$y^2+{(z-3)}^2=1$の上を動くとき，$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線と$xy$平面との交点$\mathrm{R}$の描く図形の方程式を求めよ．またその図形の概形を$xy$平面上に描け．

【３】　次の等式をみたす実数$x$をすべて求めよ．

${\displaystyle {\int }_0^x}{t}^2\sin (x-t)dt=x^2$