2008　電気通信大学　昼間・後期MathJax

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)\text{，}{f}^{″}(x)$を求めよ．

(ⅱ)　曲線$C:y=f(x)$はただ$1$つの変曲点$\mathrm{A}$をもつことを示せ．さらに点$\mathrm{A}$の$x$座標を$a$とするとき，$a$を$t$で表せ．

(ⅲ)　変曲点$\mathrm{A}$における曲線$C$の接線と$x$軸との交点$\mathrm{B}$の座標を$(b,0)$とする．$b$を$t$で表せ．

(ⅳ)　曲線$C$と直線$x=a\text{，}x=b$および$x$軸で囲まれる図形を$D$とする．$D$の面積$S$を$t$で表せ．

(ⅴ)　$b<0<a$とする．この条件のもとで，$y$軸が$D$の面積$S$を$2$等分するときの$t$の値を求めよ．

$x=f(\theta )\text{，}y=g(\theta )$

と媒介変数表示される$xy$平面上の曲線を$C$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$\theta =0\text{，}{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$に対応する$C$上の点の座標を求めよ．

(ⅱ)　$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$の範囲で$f(\theta )$と$g(\theta )$の増減を調べ，曲線$C$の$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$に対応する部分の概形を描け．

(ⅲ)　$C$上の点を$x$軸に関して対称移動すると$C$上の点に移ることを示せ．

(ⅳ)　$C$上の点$(f(\theta ),g(\theta ))$を原点を中心として${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$だけ回転すると$C$上の点$\left(f\right(\theta +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),g(\theta +{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}\left)\right)$に移ることを示せ．

(ⅴ)　曲線$C$の概形を描き，$C$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

$f(x)=sx+\sqrt{{(x-a)}^2+b^2}$

で定める．ここで，$a\text{，}b$は正の定数である．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　$f^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅱ)　$f^{″}(x)>0$であることを示せ．

(ⅲ)　$x\geqq 0$の範囲で考えるとき，関数$f(x)$が$x=0$で最小値をとるための$s$の条件を求めよ．

(ⅳ)　$\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)$および$\underset{x\to -\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)$を求めよ．

(ⅴ)　関数$f(x)$が$x>0$の範囲で極小値をもつための$s$の条件を求めよ．またこのとき，その極小値を求めよ．

$M=\left(\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right)(\begin{array}{cc}\cos \alpha & \sin \alpha \end{array})$

で定め，行列$M$の表す$1$次変換を$f$とする．以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　行列$M\text{，}{M}^2$を計算せよ．

(ⅱ)　原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}(\cos \alpha ,\sin \alpha )$に対して，$\mathrm{B}(b,c)$を，$c>0\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=1$の$3$条件を満たす点とする．このとき$\mathrm{B}$の座標を求めよ．

(ⅲ)　$1$次変換$f$による点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の像をそれぞれ求めよ．

(ⅳ)　単位円周上の点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$の$1$次変換$f$による像を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を，それぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

(ⅴ)　$\mathrm{P}$が単位円周上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を図示せよ．