2008　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面上に$3$つの曲線

• $C_1:y=x^2$
• $C_2:y=2{(x-1)}^2+3$
• $C_3:y=-{(x-a)}^2+b\text{（}a\text{，}b$は実数）

がある．$C_2$と$C_3$はただ$1$つの点を共有している．次の問いに答えよ．

(1)　$C_1\text{，}{C}_2$は共有点をもたないことを示せ．

(2)　$b$を$a$の式で表せ．

(3)　$C_1$と$C_3$で囲まれる部分の面積を$S\left(a\right)$とする．$S\left(a\right)$を最小にする$a$を求めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$2$直線

• $l_1:y=mx$
• $l_2:y=-mx$

がある．ただし，$m>1$とする．$l_1$上に点$\mathrm{P}(s,ms)\text{，}{l}_2$上に点$\mathrm{Q}(t,-mt)$を$s\ne 0\text{，}t\ne 0$となるようにとる．$\mathrm{P}$を通り$l_1$に垂直な直線と，$\mathrm{Q}$を通り$l_2$に垂直な直線の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{PQ}$と$\mathrm{OR}$が平行となるように$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を動かすとき，$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{a}_{n+1}=1-{a_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）

で定める．次の問いに答えよ．

(1)　$0<a_{2n-1}\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{3}{4}}\leqq a_{2n}<1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）であることを示せ．

(2)　$x$が$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，関数$f(x)=2x-x^3$のとる値の範囲を求めよ．

(3)　${\displaystyle \frac{a_{2n+1}}{a_{2n-1}}\leqq \frac{7}{8}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）であることを示せ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　不定積分

${\displaystyle \int }\sqrt{1-e^{-2x}}dx$

を置換$\sqrt{1-e^{-x}}=t$を用いて求めよ．

(2)　極限

$\underset{a\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^a}(1-\sqrt{1-e^{-2x}})dx$

を求めよ．

【４】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}{x}^2+{(y-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2\leqq 1\\ y\geqq 0\end{array}$

の表す図形を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．