2008　金沢大学　前期　理工，医薬保健学域MathJax

【１】　自然数$n$に対して，$2$次正方行列$A_n$を

$A_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}{A}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)A_n\text{（}n\geqq 1$）

により定める．また，$2$次正方行列$B_n$は

$B_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)B_n-\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)\text{（}n\geqq 1$）

を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)　数学的帰納法を用いて

$A_n=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n-1}& 2^{n-1}+3^{n-1}\\ 0& 3^{n-1}\end{array}\right)\text{（}n\geqq 1$）

が成り立つことを示せ．

(2)　ある$2$次正方行列$C$に対して，$C=B_n-A_n$がすべての$n$について成り立つとする．このとき，$C$を求めよ．

(3)　(2)の条件を満たす$B_n$のうち，逆行列をもたないものは$B_1$に限ることを示せ．

【２】　$a$を実数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a\geqq 0$のとき，$S(a)={\displaystyle {\int }_0^1}|x^3-3a{x}^2+2a^{2}x|dx$を求めよ．

(2)　$a$が$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$の範囲を動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．

【３】　$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$a$を正の実数とし，点$\mathrm{A}(0,1)$を通り，傾き$a$の直線を$l$とする．$C$と$l$の交点で，$\mathrm{A}$と異なるものを$\mathrm{P}$とし，$l$と直線$y=-2$の交点を$\mathrm{Q}$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線を$m$とし，$m$と直線$y=-2$の交点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　直線$m$の方程式を$a$を用いて表せ．

(2)　$a$が正の値をとって動くとき，線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

(3)　(2)で求めた$a$の値に対して，点$\mathrm{A}$を通り，$\angle \mathrm{QAR}$を二等分する直線の方程式を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を定数とし，正の数からなる数列$\{x_n\}$は

$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sqrt{x_n+n}-\sqrt{n})=a$

を満たすとする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x_n}{\sqrt{n}}}=2a$が成り立つことを示せ．

(2)　自然数$L\text{，}n$に対して

$\sqrt{L+n+1}-\sqrt{n+1}<{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^L}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+n}}}<\sqrt{L+n}-\sqrt{n}$

が成り立つことを示せ．

(3)　$b$は定数で，$b>1$とする．自然数$n$に対して，集合

$\left\{L\right|L\text{は}{\displaystyle \sum _{k=1}^L}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{k+n}}}<b\text{を満たす自然数}\}$

の要素の個数を$L_n$とする．このとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{L_n}{\sqrt{n}}}=b$が成り立つことを示せ．