2008　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$を次のように定める．

$a_1=1\text{，}{a}_2=11\text{，}{a}_3=111\text{，}\cdots \text{，}{a}_n=\stackrel{\stackrel{n\text{個}}{⏞}}{111\cdots 1}\text{，}\cdots$

　このとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k={\displaystyle \frac{{10}^{n+1}-9n-10}{81}}$

を示せ．

【２】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\mathrm{-1},1)\text{，}\mathrm{B}(\mathrm{-1},2,2)\text{，}\mathrm{C}(2,\mathrm{-1},\mathrm{-1})$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の長さを$d$とおく．次の問に答えよ．

(1)　$y$を固定して$x$を変化させるとき，$d$が最小となる$x$を$y$で表せ．

(2)　$d$の最小値を求めよ．

【３】　$2$つの曲線$y=x^2$と$y=x^3-3x+3$で囲まれる領域を$D$とする．次の問に答えよ．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　点$(x,y)$が$D$上を動くとき，$3x+4y$の最大値と最大値を与える点$(x,y)$を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3-(1+a)x^2+4ax+a^2$とする．ただし，$a\leqq 1$とする．次の問に答えよ．

(1)　$y=f(x)$の増減を調べ，極大値，極小値があればそれらを$a$で表せ．

(2)　$x\geqq 0$に対し$f(x)\geqq 0$となる$a$の値の範囲を求めよ．

【１】　空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\mathrm{-1},1)\text{，}\mathrm{B}(\mathrm{-1},2,2)\text{，}\mathrm{C}(2,\mathrm{-1},\mathrm{-1})$がある．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+x\overrightarrow{\mathrm{AB}}+y\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の長さの最小値を求めよ．

【１】　$3$つの実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を次のように定める．

$a_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(b+c)\text{，}{b}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(c+a)\text{，}{c}_1={\displaystyle \frac{1}{2}}(a+b)$

　$n=2\text{，}3\text{，}\cdots$に対しては

$a_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(b_{n-1}+c_{n-1})\text{，}{b}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(c_{n-1}+a_{n-1})\text{，}{c}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}(a_{n-1}+b_{n-1})$

　このとき，次の問に答えよ．

(1)　次の関係式を示せ．

• $a_n+b_n+c_n=a+b+c$
• $2a_n-b_n-c_n={(-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^n(2a-b-c)$

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

【２】　$n$は自然数とする．次の問に答えよ．

(1)　$x>0$のとき，不等式

$\sqrt{x}>\log (x+1)$

が成り立つことを示し，$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (n+1)$を求めよ．

(2)　$1-\sqrt{x}=t$と置換して，${\displaystyle {\int }_0^1}{(1-\sqrt{x})}^{n}dx$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{({\displaystyle {\int }_0^1}{(1-\sqrt{x})}^{n}dx)}^{{\displaystyle \frac{1}{n}}}$を求めよ．

専攻別数学選択方法

学校教育教員養成課程

　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$

　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

養護学校教員養成課程

　障害児教育専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

教育カウンセリング課程

　心理臨床専攻　数学$\text{②}$と$\text{③}$