2008　信州大学　前期　理，医学部MathJax

【１】　$x$についての多項式$f(x)$が次の$3$つの条件(a)，(b)，(c)をみたすとする．このとき，関数$y=f(x)$を求め，そのグラフをかけ．

• (a)　$f(x)$は$3$次の多項式で，$x^2-x-2$で割り切れる．
• (b)　$f(x)$の$x=1$における微分係数は$\mathrm{-3}$である．
• (c)　(a)の商の$0$から$2$までの定積分は$\mathrm{-2}$である．

【２】　放物線$C:y=x^2$を考える．$a<b$をみたす定数$a\text{，}b$に対して，$x$座標が$a\text{，}b$である$C$上の点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．$a<p<b$をみたす実数$p$に対して，$x$座標が$p$である$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．三角形$\mathrm{ABP}$の面積を最大にする$p$の値と，そのときの面積を求めよ．

【３】　赤玉$8$個と白玉$4$個の入っている袋の中から，同時に$7$個の玉を取り出す試行について，次の問いに答えよ．

(1)　白玉が$4$個取り出される確率を求めよ．

(2)　赤玉が$5$個以上取り出される確率を求めよ．

(3)　取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．

【４】　$r$は正の定数とする．半径$r$の円に内接する正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の面積を$S_1$とし，正三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$の内接円$O_1$の面積を$T_1$とする．次に，円$O_1$に内接する正三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$の面積を$S_2$とし，正三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2$の内接円$O_2$の面積を$T_2$とする．さらに同様の操作を繰り返してできる円$O_{n-1}$に内接する正三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の面積を$S_n$とし，正三角形${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n{\mathrm{C}}_n$の内接円$O_n$の面積を$T_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

（1)　$S_n\text{，}{T}_n$を$n$を用いて表せ．

(2)　$U_n=S_n-T_n$とおく．このとき，和${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{U}_k$を$n$を用いて表せ．

【５】　座標平面上に相異なる$3$点$\mathrm{A}(0,a)\text{，}B(0,b)\text{，}\mathrm{C}(1,0)$をとる．ある行列$P$で表される移動によって，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }$に移り，点$\mathrm{C}$は動かないとする．そのような行列$P$のうち三角形${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }\mathrm{C}$が正三角形となるものをすべて求めよ．

【６】　対数は自然対数とする．曲線$C:y=\log x$上の点$\mathrm{P}(u,\log u)\text{（}u>1$）における接線，曲線$C\text{，}$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積を$S_1(u)$とする．また点$\mathrm{A}(1,0)$と点$\mathrm{P}$を結ぶ線分，および曲線$C$で囲まれた図形の面積を$S_2(u)$とする．$S(u)=S_1(u)-S_2(u)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$S(u)$を求めよ．

(2)　曲線$y=S(u)$の変曲点を求めよ．

(3)　関数$S(u)$はただ$1$つの極大値をもち，その値は正であることを示せ．

【７】　曲線${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{（}x>0\text{，}y>0$）上の動点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とする．このとき，線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．